动态规划：01背包问题的浅谈

经典01背包问题：

（1）定义：

你有n种物品，每种只有一个，每个物品有一个价值c和重量w。有一个背包，最多能装总重量为w的物品，求能装进背包物品的最价值最大值。

（2）解析：

首先不妨想另外一个问题：如果把物品换成“沙子”一类的东西，即可以取任意实数范围内的个数呢？不难想到一定要取“单位价值”最大的东西，即c/w最大，因为最后总能填满背包。

然而对于整数个范围的个数，这样的贪心方法是否适用呢？很遗憾，答案是否。不难想出这样一个反例：

只有两种物品，一种c=100，w=49，另一种c=20，w=11，背包最大重量为97。按照上面的贪心策略，100/49>2>20/11，所以该选第一种。然而第一种只能放一个，总价值为100；然而第二种却能放8个，总价值为160>100

问题来了：这是为什么呢？
很简单，因为这里的策略是考虑“沙子”的：算法认为接下来第一种物品还能再放0.93个，实际上却不行：你没法放半个物品。

那如果按价值，或是重量贪心呢？也很容易举出反例。

（3）算法：

这里，我们的优化利器：动态规划（dynamic programming）就登场了。

我们用二维数组保持状态：F[i,j]，表示“前i个物品放到一个最大载重为j的背包，物品最大的价值和”。根据状态写出一个填表的二维循环：

for i=1 to n
for j=w[i] to v
{………………}

动态转移? 在选择第i个物品时，就两种情况：选，还是不选。这样问题就成了“前i-1个物品的问题”，不难得出：

选：F[i-1,j-w[i]]+c[i] ： 前i-1个物品，容量为j-w[i]的背包（容量被i号物品占了w[i]）
不选：F[i-1,j] ： 前i-1个物品，容量为j的背包（背包没小）

得到方程：F[i,j]=max(F[i-1,j],F[i-1,j-w[i]]+c[i])
初始状态：F[0,j]=0 （0<=j<=v）
目标状态：F[n,v]

（4）空间的优化：

不难看出，时间复杂度O(nv)似乎没法优化了（否则表都填不完了），那空间呢？
这里就有了典型的动归优化：滚动数组。

请先仔细观察方程：F[i,j]=max(F[i-1,j],F[i-1,j-w[i]]+c[i])

我们得到一个结论：一个状态(i,j)，它只从（i-1）层的状态转移，也就是说，当我们计算到第i层，1~i-2层都是没用的。那我们干嘛留着它呢？

为此，我们只用一个一维数组F[j]保存状态。但还有个问题：二维循环要写成这样：

for i=1 to n
for j=v to w[i]
F[j]=max(F[j],F[j-w[i]]+c[i])

这又是为什么呢？

当我们计算F[j],我们想知道F[1~j-1]的值（因为背包取了当前物品后容量只会变小），所以从v到w[i]逆向转移，可以保证F[1~j-1]的状态不被破坏。

具体解释如下图：

（5）常数的优化：

有一个很简单的优化，如下面的代码：

for i=1 to n
for j=v to max(v-(w[i]+w[i+1]+……+w[n]),w[i])
F[j]=max(F[j],F[j-w[i]]+c[i])

这也是显然的：如果“我从第i层开始找，以后每一层都取物品，也装不满”，即从最终状态逆向推根本推不到这个状态，那我还计算它干嘛呢。

（6）问题的变形：

有时候背包要求“恰好装满”，这时初始状态就要更改：

F[0]=0, F[1~v]=-inf

原因很简单：只有什么东西不装时，容量为0的背包是”装满“的，其他都不是，因此值为-inf避免选择这些状态。这个技巧对其他背包亦可。

（7）代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>

#define rep(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
#define dep(i,x,y) for (int i=x;i>=y;i--)
#define fill(a,x)  memset(a,x,sizeof(a))

using namespace std;

const int maxn=2500+10;

int main()
{ 
  int n,v,num[maxn],f[maxn],c[maxn],w[maxn];
  scanf("%d%d",&v,&n);

  fill(f,0);
  fill(num,0);

  rep(i,1,n) scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
  dep(i,n,1) num[i]=num[i+1]+w[i];

  rep(i,1,n)
   dep(j,v,max(v-num[i],w[i]))
     f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);

  printf("%d\n",f[v]);
  return 0;
}