优化最大子序列和算法-优快云博客

问题：

现有一个含n个整数（可含负数）的序列，求x，y使a[x]+a[x+1]+……+a[y]最大.

算法:

第一级：枚举

首先想到的就是暴力枚举：从大到小枚举x，y，计算从a[x]加到a[y]的和，与当前答案比较。代码如下：

#include <cstdio>

const int maxn=1000;

int main()
{
  int n,ans,a[maxn];
  scanf("%d",&n);

  for (int i=0;i<n;i++)
    scanf("%d",&a[i]);

  ans=a[0];

  for (int i=0;i<n;i++)
    for (int j=i;j<n;j++)
    {
        int sum=0;
        for (int k=i;k<=j;k++) sum+=a[k];

        ans=sum>ans?sum:ans;
    }

  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}

时间复杂度：O（n^3），对于大一点的n，n>1000时就相当吃力了。当然还要继续优化。

第二级：枚举+优化：

我们发现：当计算 [2,7] 和 [1,6] 时，我们都把[1,6] 计算了两次。实际计算真是有大量这样的浪费。
由此不难得到OI中的一个常见优化：前缀和。我们用s[i]表示a[1]+a[2]+……a[i]的和，当计算[x,y]时，我们只需计算s[y]-s[x-1]就行了，在O（1）时间内得到了元素和。

#include <cstdio>

const int maxn=1000;

int main()
{
  int n,ans,a[maxn],s[maxn];
  scanf("%d",&n);

  s[0]=0;

  for (int i=1;i<=n;i++)
  {
    scanf("%d",&a[i]);
    s[i]=s[i-1]+a[i];
  }

  ans=a[0];

  for (int i=1;i<=n;i++)
    for (int j=i;j<=n;j++)
    {
        int sum=s[j]-s[i-1];
        ans=sum>ans?sum:ans;
    }

  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}

时间复杂度：O（n^2），然而至此，我们还是可以再次优化。

第三级：分治算法：

首先一个序列，我们要求它的最大子序列和，只有3种情况：

（1）：最大子序列全在左字串
（2）：最大子序列全在右子串
（3）：最大子序列头在左字串，尾在右子串

所以对于一个序列[x,y]，我们先求出它左字串的最大子序列，再求出它的右子串的最大子序列，最后把结果与直接求出的（3）的子序列比较，最大值即[x,y]的最大子序列。注意：这个过程是递归的，所以求左右子串的最大子序列亦是如此，只不过当x=y时，直接返回a[x]即可（不能返回0，因为不能不选）。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn=1000;

int max_sum(int *a,int x,int y)
{
  if (x==y) return a[x];

  int m=x+(y-x)/2; //中间下标
  int maxm=max(max_sum(a,x,m),max_sum(a,m+1,y)); //左右子串最大值

  int v=0,l=a[m],r=a[m+1];

  // 求出中间串最大值（贪心过程）

  for (int i=m;i>=x;i--)
    l=max(l,v+=a[i]);

  v=0;

  for (int i=m+1;i<=y;i++)
    r=max(r,v+=a[i]);

  return max(maxm,l+r); //比较
}

int main()
{
  int n,a[maxn];
  scanf("%d",&n);

  for (int i=0;i<n;i++)
    scanf("%d",&a[i]);

  printf("%d\n",max_sum(a,0,n-1));
  return 0;
}

时间复杂度？因为二分的存在，复杂度降至了O（nlogn）。

第四级：信息维护：

即便标题是分治，也有更好的算法：不难发现，最终的答案就是找到y>=x，使得s[y]-s[x]最大。

我们从前往后枚举y，远比博主机智的多的读者们已经发现了：上一次枚举的x，在这一次的枚举中不会更差。由此，我们可以维护一个”前趋最小s：last“，每次我们用当前的s[y]-last与答案比较，更大再采用，再判断当前的s[y]是否比last更小，维护即可：

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn=10000;

int main()
{
  int n,a[maxn],s[maxn];
  scanf("%d",&n);

  s[0]=0;
  for (int i=1;i<=n;i++)
  {
    scanf("%d",&a[i]);
    s[i]=s[i-1]+a[i];
  }

  int ans=a[1],min=s[1];

  for (int i=2;i<=n;i++)
  {
    ans=max(ans,s[i]-min); //维护答案
    if (s[i]<min) min=s[i]; //维护最小值
  }

  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}