Catalan数(卡特兰数)

本文探讨了卡特兰数在计算机科学领域的应用,包括矩阵链乘、栈操作、圆上点的连线、凸多边形的三角划分等经典问题。详细解释了卡特兰数的定义、递推公式及在实际问题解决中的作用。

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以下内容整理自

1百度百科      http://baike.baidu.com/view/2499752.htm

2  http://buptdtt.blog.51cto.com/2369962/832586

http://blog.youkuaiyun.com/hackbuteer1/article/details/7450250

卡特兰数又称卡塔兰数,是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。

     卡特兰数前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

       

令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递推式:
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
例如:h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另类递推式:
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
递推关系的解为:
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
递推关系的另类解为:
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)
还有一种变形: f(n) = f(1)*f(n-1) + f(2)*f(n-2) +... + f(n-1)*f(1)
此f(1)=1;f(2)=1;容易得f(n)等于h(n-1)
即f(n) = C(2n-2,n-1)/n,n=1,2,3.....,与上面的取值范围不同。

卡特兰数的应用

1、矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?

思路:可以这样考虑,首先通过括号化,将P分成两个部分,然后分别对两个部分进行括号化。比如分成(a1)×(a2×a3.....×an),然后再对(a1)和(a2×a3.....×an)分别括号化;又如分成(a1×a2)×(a3.....×an),然后再对(a1×a2)和(a3.....×an)括号化。

       设n个矩阵的括号化方案的种数为f(n),那么问题的解为

        f(n) = f(1)*f(n-1) + f(2)*f(n-2) + f(3)*f(n-3) + f(n-1)*f(1)。f(1)*f(n-1)表示分成(a1)×(a2×a3.....×an)两部分,然后分别括号化。

       计算开始几项,f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = 5。结合递归式,不难发现f(n)等于h(n-1)。

2、一个(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…,n,有多少个不同的出栈序列?

       思路: 对于每一个数来说,必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’,出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b),因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数,1的累计数不小于0的累计数的方案种数。
在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求(由左而右扫描,0的累计数大于1的累计数)的方案数即为所求。
不符合要求的数的特征是由左而右扫描时,必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数,此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换,使之成为n-m个0和n-m-1个1,结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列
反过来,任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数,由于0的个数多2个,2n为偶数,故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换,使之成为由n个0和n个1组成的2n位数,即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。
因而不合要求的2n位数与n+1个0,n-1个1组成的排列一一对应。
显然,不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=c(2n,n)/(n+1)=h(n)。
类似问题 买票找零
有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

3、在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

       思路:以其中一个点为基点,编号为0,然后按顺时针方向将其他点依次编号。那么与编号为0相连点的编号一定是奇数,否则,这两个编号间含有奇数个点,势必会有个点被孤立,即在一条线段的两侧分别有一个孤立点,从而导致两线段相交。设选中的基点为A,与它连接的点为B,那么A和B将所有点分成两个部分,一部分位于A、B的左边,另一部分位于A、B的右边。然后分别对这两部分求解即可。

       设问题的解f(n),那么f(n) = f(0)*f(n-2) + f(2)*f(n-4) + f(4)*f(n-6) + ......f(n-4)*f(2) + f(n-2)*f(0)。f(0)*f(n-2)表示编号0的点与编号1的点相连,此时位于它们右边的点的个数为0,而位于它们左边的点为2n-2。依次类推。

       f(0) = 1, f(2) = 1, f(4) = 2。结合递归式,不难发现f(2n) 等于h(n)

4、求一个凸多边形区域划分成三角形区域的方法数?

      思路:以凸多边形的一边为基,设这条边的2个顶点为A和B。从剩余顶点中选1个,可以将凸多边形分成三个部分,中间是一个三角形,左右两边分别是两个凸多边形,然后求解左右两个凸多边形。

      设问题的解f(n),其中n表示顶点数,那么f(n) = f(2)*f(n-1) + f(3)*f(n-2) + ......f(n-2)*f(3) + f(n-1)*f(2)。f(2)*f(n-1)表示三个相邻的顶点构成一个三角形,那么另外两个部分的顶点数分别为2和n-1。

      设f(2) = 1,那么f(3) = 1, f(4) = 2, f(5) = 5。结合递推式,不难发现f(n) 等于h(n-2)

5、描述:有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?

     思路:可以将持5元买票视为进栈,那么持10元买票视为5元的出栈。这个问题就转化成了栈的出栈次序数。由应用三的分析直接得到结果,f(2n) 等于h(n)*n!*n!

6、拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量为h(n).例如 4个叶子节点的所有二叉树形态:

 

7、n*n的方格地图中,从一个角到另外一个角,不跨越对角线的路径数为h(n).例如, 4×4方格地图中的路径有:

8、圆桌周围有 2n个人,他们两两握手,但没有交叉的方案数为h(n) 

9、说16个人按顺序去买烧饼,其中8个人每人身上只有一张5块钱,另外8个人每人身上只有一张10块钱。烧饼5块一个,开始时烧饼店老板身上没有钱。16个顾客互相不通气,每人只买一个。问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。h(8)=1430,所以总数=1430*8!*8!

10、在图书馆一共6个人在排队,3个还《面试宝典》一书,3个在借《面试宝典》一书,图书馆此时没有了面试宝典了,求他们排队的总数?

h(3)=5;所以总数为5*3!*3!=180.


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