动态规划小结

这两天做了几道dp，回顾一下.

1，http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1024

dp[i][j]表示前j个数字包括j 选i段划分出的最大值

dp[i][j]=max(dp[i][j-1],max(dp[i-1][k]))+num[j]; 1<=k<=j-1;

编程中可以用滚动数组实现dp数组，而用pre[k]来表示前一阶段前k个数字最大值（可以不包括k）也就是max(dp[i-1][k])。

for(i=1;i<=m;i++)
{
     mm=-inf;
     int j;
     for(j=i;j<=n;j++)
     {
           dp[j]=max(dp[j-1],pre[j-1])+num[j];
           pre[j-1]=mm;
           if(dp[j]>mm)
               mm=dp[j];
      }
}

2,http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1025

分析合法的线路不能有交叉

则如果i>j，对应城市xi>xj,本质就上最长上升子序列。

一种动态规划算法复杂度较高，一种利用二分。

3,http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1080

这道题类似于最长公共子序列

dp[i][j]表示str1前i个与str2前j个的最大值

dp[i][j]=max(dp[i-1][j-1]+num[ [str1[i] ][ str2[j] ] ,dp[i-1][j]+num[ str1[i] ][ '-' ] ,dp[i][j-1]+num[ '-' ][ str2[j] ]) ;

4,http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1081

这道题是最大连续子段和的二维情况

用dp[k][i][j]表示从第0行i-j列 到第k行 i-j列的最大值

dp[k][i][j]=max(dp[k-1][i][j]+sum[k][i][j],sum[k][i][j] )  sum[k][i][j]表示第k行i---j列的数的和。

实际编程可用dp[i][j]来滚动实现，而sum[k][i][j]只需临时计算一下即可。

这道题具有明显的阶段的划分,好多论文里都提到多阶段决策,但好多的题目阶段的划分并不明确,但却可列出状态转移方程.

多阶段决策是运筹学里动态规划的内容,个人觉得算法中动态规划可以具有明显的阶段划分,但也可以不具有明显的阶段划分(比如最长公共子序列),但具有明显的阶段划分可以更加容易的写出状态方程.

5,http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3905

分析:

转自http://hi.baidu.com/mbxiluhqzjgktue/item/b325bf5616a4d401abf6d731

很明显的是一道 DP ，不过有点灵活，需要活用状态的表示

记 dp[i][j] 为前 i 分钟，睡了 j 分钟所能得到的最多的分数

直接就用这么一个状态的话，写出的转移方程来，会发现复杂度是三次方的

这个时候可以再设一个状态来进行优化

记 dp0[i][j] 为从 i 开始前的连续 L 分钟都是醒着的，并且睡了 j 分钟所能得到的最大价值

那么 dp[i][j] 的转移可以这样来

第 i 分钟睡 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]

第 i 分钟醒着 dp[i][j]=max{dp[i][j],dp0[i][j]}

 

dp0[][] 的转移是

dp0[i][j]=max{dp0[i-1][j]+a[i],dp[i-L][j]+sum[i]-sum[i-L]; }

且 dp0[][] 可以用滚动数组实现，舍去 i 这一维

 

答案是 dp[n][m] 

这样的话，复杂度就是 O(n*n) 的

6.http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2517

棋盘分割

对公式化简,实际是求各部分值的平方值和最小.

用到了做备忘录的方法.

阶段比较明显以刀数划分阶段

dp[k][x1][y1][x2][y2]  表示切了k刀后，左上角x1,y1,和右下角x2 y2的矩形最大值，

其取值是下一刀，所有状态中的最小值

sum[x1][y1][x2][y2]矩形区域各值和的平方值

for(i=x1;i<x2;i++)
{
     minxx=min(dp(k+1,x1,y1,i,y2)+sum(i+1,y1,x2,y2),minxx);  //横切选取上面的
     minxx=min(dp(k+1,i+1,y1,x2,y2)+sum(x1,y1,i,y2),minxx);  //横切选取下面的
} 

for(i=y1;i<y2;i++)
{
     minxx=min(dp(k+1,x1,y1,x2,i)+sum(x1,i+1,x2,y2),minxx);  //竖切选取左面的
     minxx=min(dp(k+1,x1,i+1,x2,y2)+sum(x1,y1,x2,i),minxx);  //竖切选取右面的
}

d[k][x1][y1][x2][y2]=minxx

7. http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3651

这个的阶段的划分可以按目标串的顺序来

先将0处理成10方便。

dp[i][l][r]表示按完第i个数字后左指在l,右指在r的最短时间。因为是最短时间，显然,l或r肯定有一个在i数字的位置。

则下一阶段dp[i+1][pos][r]是左手按目标位置

dp[i+1][pos][r]=dp[i][x][y]+dis  // dis=abs(x-pos)+1 因为按下还要一秒所以加1  r的位置可以变动  r可以变动但必须在dis的范围内 且在左手右边

dp[i+1][l][pos]右手按目标位置。

dp[i+1][l][pos]=dp[i][x][y]+dis   //dis=abs(y-pos)+1  l可以变动但必须在dis的范围内 且在右手左边

实现的时候dp数组可以用类似滚动数组，减小空间。给出左手代码：

void lefthand(int pos,int x,int y)
{
    if(pos==10)
        return ;
    int dis=abs(pos-x)+1;
    int i;
    for(i=0;i<=dis&&y+i<=10;i++)
    {
        if(y+i>pos)
            dp[cur][pos][y+i]=min(dp[cur][pos][y+i],dp[pre][x][y]+dis);
    }
    for(i=0;i<=dis&&y-i>=2;i++)
    {
        if(y-i>pos)
            dp[cur][pos][y-i]=min(dp[cur][pos][y-i],dp[pre][x][y]+dis);
    }
}

完整代码：

http://blog.youkuaiyun.com/juststeps/article/details/9202101

8，http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1494

这道题阶段明显，状态明显，

以道路的各个阶段划分，每个阶段的状态就是氮气的状态，将氮气数字化，5代表一个氮气，14代表2个氮气，和80%的能量

dp[j][k]表示第j阶段跑完还有k的能量

if(k==0)                  //k是0则肯定是加速过来的
 	dp[j][k]=dp[j-1][k+5]+b[j];
else if(k==10)            //可能是14溢出一个到10，或9->10
	dp[j][k]=min(dp[j-1][14]+a[j],dp[j-1][9]+a[j]);
else if(k>10&&k<=14)      //只能普通跑过来
        dp[j][k]=dp[j-1][k-1]+a[j];
else                     //加速或不加速
        dp[j][k]=min(dp[j-1][k-1]+a[j],dp[j-1][k+5]+b[j]);

9 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1913

发现根据理论去看以前的动归题目，有点感觉了

dp[i][j] 表示第j天完时，用到第i台电脑的最优值，当然i<=j;

if(j>i)
     dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-1]+m[i][j]);
else   //j==i的情况
{
     int k;
     for(k=1;k<=i-1;k++)
         dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+m[i][j]+c);
}

10，