【AtCoder arc072_f/集训队作业】 Dam

【AtCoder arc072_f/集训队作业】Dam

所以说思维还是很重要的啊

题意

$\quad$你有一个初始为空的水坝，每日都会有温度为$t_i$，体积为$v_i$的水流入。为使总水量不超过常数$L$，你每晚都可以放走一些水，使明日早晨的水可以全部流入。若水的温度不会随时间变化，只会受新流入的水影响，输出$1\sim n$日中午在水坝是满的的条件下温度的最大值。满足第一天水坝一定会满。

分析

$\quad$我曾尝试往构造单调队列上想，最后在单调队列上二分答案，但这样在遇到某日温度骤减的情况时难以处理。在观摩了别人的代码后，才意识到这题根本没有那么复杂。
$\quad$我们断言能把前$i$天的注水在最优策略下等价变换为$i'$天的注水(表现为单调队列)，同时满足：
$1.\;$这些天的总注水量为$L$。
$2.\;$被注入的水的温度随日期递增。
$\quad$我们归纳证明：
$1.\;$第一日显然可以
$2.\;$我们要在i-1’天中选择若干天放水。因为$t$最大的同时$tv$也达到最大，而放水的$v$是确定的，所以放水时$t$要尽量小，故尽早放水即可(表现为队列$pop\_front$)，此时变为$i-1''$天的注水。
$\quad$再维护单调性：若第$i$日注水水温不为当前最大，由贪心可知，第$i-1''$天不放水一定不比放水劣，意味着我们可以将第$i-1''$天的注水和第$i$天的注水合并(表现为$pop\_back$)，重复该过程直到第$i'$日注水水温为当前最大，则$i'$天的注水构造完成($push\_back$)。
$\quad$根据最优性，将$i'$日的注水混合后的温度即为第日的答案。

AC代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define re_ return
#define in_ inline
#define op_ operator
#define inc(l, i, r) for(i=l; i<r; ++i)
typedef long long ll;
typedef double db;

struct wat
{
    db t; int v;
    wat(): t(0), v(0){}
    wat(db a, int b): t(a), v(b){}
    in_ wat op_+ (wat a)
    {re_ v+a.v? wat((t*v+a.t*a.v)/(v+a.v), v+a.v): wat();}
    in_ wat& op_+= (wat a)
    {re_ *this=*this+a;}
    in_ wat op_- (wat a)
    {re_ v^a.v? wat((t*v-a.t*a.v)/(v-a.v), v-a.v): wat();}
    in_ wat& op_-= (wat a)
    {re_ *this=*this-a;}
    in_ void wr(char* a)
    {printf("(%.6lf, %d)%s", t, v, a);}
};

const int mxn=1<<19;

int n, v0; wat q[mxn];

int main()
{
    int s, t; wat a, b;//b维护水坝中的所有水
//    a.wr("\n");
    scanf("%d%d", &n, &v0);
    for(s=t=0; n--;)
    {
        scanf("%lf%d", &a.t, &a.v);
        for(b+=a; b.v>v0;)//放水
            if(q[s].v<=b.v-v0) b-=q[s++];
            else q[s].v-=b.v-v0, b-=wat(q[s].t, b.v-v0);
        printf("%lf\n", b.t);
        for(;s<t && q[t-1].t>=a.t; a+=q[--t]);//合并所注水
        q[t++]=a;
    }
    re_ 0;
}