线性代数(10)——初等矩阵和矩阵可逆性(下)

矩阵的LU分解

概念

矩阵的分解实际上就是将一个矩阵分解成为几个矩阵乘积的形式。不同类型的矩阵分解有不同的目的，如矩阵的LU分解的目的是为了提高计算效率。

LU分解实际上是将一个矩阵$A$分解成为两个矩阵$L$和$U$的乘积，即 $A=L\cdot U$，

L：Lower triangle matrix 下三角矩阵
U：Upper triangle matrix 上三角矩阵

以方阵为例，演示上三角矩阵和下三角矩阵，

1. 下三角矩阵
   $$\left(\begin{array}{cccc}\ast & 0& 0& 0\\ \ast & \ast & 0& 0\\ \ast & \ast & \ast & 0\\ \ast & \ast & \ast & \ast \end{array}\right)$$
   下三角矩阵：有效信息均在主对角线及其下方，而上方的元素均为0。
2. 上三角矩阵
   $$\left(\begin{array}{cccc}\ast & \ast & \ast & \ast \\ 0& \ast & \ast & \ast \\ 0& 0& \ast & \ast \\ 0& 0& 0& \ast \end{array}\right)$$
   上三角矩阵：有效信息均在主对角线及其上方，而下方的元素均为0。

在矩阵分解中，经常是把矩阵分解成一个“单位下三角矩阵”(即主对角线元素均为1) 和一个上三角矩阵，不保证上三角矩阵的主对角线元素为1。

回顾之前的Gauss-Jordan消元法，前向过程最终是将矩阵经过初等变换生成了一个上三角矩阵。因为初等变换的过程又可以视为将一系列初等矩阵乘在矩阵左边，所以可以写为，
$$E_p\cdot ...\cdot E_3\cdot E_2\cdot E1\cdot A=U$$
等式左边只保留$A$，
$$E_1^{-1}\cdot E_2^{-1}\cdot E_3^{-1}\cdot ...\cdot E_p^{-1}\cdot E_p\cdot ...\cdot E_3$$