线性代数(10)——初等矩阵和矩阵可逆性(下)

矩阵的LU分解

概念

矩阵的分解实际上就是将一个矩阵分解成为几个矩阵乘积的形式。不同类型的矩阵分解有不同的目的,如矩阵的LU分解的目的是为了提高计算效率

LU分解实际上是将一个矩阵 A A A分解成为两个矩阵 L L L U U U的乘积,即 A = L ⋅ U A = L \cdot U A=LU

L:Lower triangle matrix 下三角矩阵
U:Upper triangle matrix 上三角矩阵

以方阵为例,演示上三角矩阵和下三角矩阵,

  1. 下三角矩阵
    ( ∗ 0 0 0 ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ) \begin{pmatrix}*&0&0&0\\*&*&0&0\\*&*&*&0\\*&*&*&*\end{pmatrix} 000000
    下三角矩阵:有效信息均在主对角线及其下方,而上方的元素均为0。
  2. 上三角矩阵
    ( ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗ 0 0 0 ∗ ) \begin{pmatrix}*&*&*&*\\0&*&*&*\\0&0&*&*\\0&0&0&*\end{pmatrix} 000000
    上三角矩阵:有效信息均在主对角线及其上方,而下方的元素均为0。

矩阵分解中,经常是把矩阵分解成一个“单位下三角矩阵”(即主对角线元素均为1) 和一个上三角矩阵,不保证上三角矩阵的主对角线元素为1。

回顾之前的Gauss-Jordan消元法,前向过程最终是将矩阵经过初等变换生成了一个上三角矩阵。因为初等变换的过程又可以视为将一系列初等矩阵乘在矩阵左边,所以可以写为,
E p ⋅ . . . ⋅ E 3 ⋅ E 2 ⋅ E 1 ⋅ A = U E_p \cdot...\cdot E_3 \cdot E_2 \cdot E1 \cdot A = U Ep...E3E2E1A=U
等式左边只保留 A A A
E 1 − 1 ⋅ E 2 − 1 ⋅ E 3 − 1 ⋅ . . . ⋅ E p − 1 ⋅ E p ⋅ . . . ⋅ E 3 ⋅ E 2 ⋅ E 1 ⋅ A = E 1 − 1 ⋅ E 2 − 1 ⋅ E 3 − 1 ⋅ . . . ⋅ E p − 1 ⋅ U E_1^{-1}\cdot E_2^{-1}\cdot E_3^{-1}\cdot ...\cdot E_p^{-1}\cdot E_p \cdot...\cdot E_3 \cdot E_2 \cdot E1 \cdot A = E_1^{-1}\cdot E_2^{-1}\cdot E_3^{-1}\cdot ...\cdot E_p^{-1}\cdot U E11E21E31...Ep1Ep...E3

评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值