线性组合
在标量中存在线性函数，即k个标量和另外 k k k个标量的组合 k 1 ⋅ x 1 + k 2 ⋅ x 2 + … … + k p ⋅ x p k_1\cdot x_1+k_2\cdot x_2+……+k_p\cdot x_p k1⋅x1+k2⋅x2+……+kp⋅xp，标量的线性组合最终得到的依旧是一个标量。
线性组合是针对向量而言的，可以理解为，给定 p p p个维度相同的向量 v 1 ⃗ 、 v 2 ⃗ 、 … … v p ⃗ \vec{v_1}、\vec{v_2}、……\vec{v_p} v1、v2、……vp，同时给定 p p p个标量 k 1 、 k 2 、 … … k p k_1、k_2、……k_p k1、k2、……kp，将这 p p p个标量和 p p p个向量进行组合得到的 k 1 ⋅ v 1 ⃗ + k 2 ⋅ v 2 ⃗ + … … + k p ⋅ v p ⃗ k_1\cdot\vec{v_1}+k_2\cdot\vec{v_2}+……+k_p\cdot\vec{v_p} k1⋅v1+k2⋅v2+……+kp⋅vp 就被称为这些向量的一个线性组合。向量的线性组合最终得到的同样还是个向量。
线性相关和线性无关
线性相关和线性无关是建立在线性组合的基础上的。
线性相关
对于给定p个维度相同的向量 v 1 ⃗ 、 v 2 ⃗ 、 … … v p ⃗ \vec{v_1}、\vec{v_2}、……\vec{v_p} v1、v2、……vp而言，若存在一组不全为0的标量 k k k使得 k 1 ⋅ v 1 ⃗ + k 2 ⋅ v 2 ⃗ + … … + k p ⋅ v p ⃗ = 0 k_1\cdot\vec{v_1}+k_2\cdot\vec{v_2}+……+k_p\cdot\vec{v_p}=0 k1⋅v1+k2⋅v2+……+kp⋅vp=0，则称这p和向量线性相关。
线性相关也可以更通俗的理解为，其中任意的一个系数不为0的向量都能够使用其他向量表示。
上面的命题是互为充要的，即
如 果 v 1 ⃗ 、 v 2 ⃗ 、 … … v p ⃗ 线 性 相 关 ⇔ 其 中 一 个 项 目 可 以 写 为 其 他 向 量 线 性 组 合 如果\vec{v_1}、\vec{v_2}、……\vec{v_p}线性相关\Leftrightarrow其中一个项目可以写为其他向量线性组合 如果v1、v2、……vp线性相关⇔其中一个项目可以写为其他向量线性组合
具体的证明如下，
- 给出正向证明，
k 1 ⋅ v 1 ⃗ + k 2 ⋅ v 2 ⃗ + … … + k p ⋅ v p ⃗ = 0 k_1\cdot\vec{v_1}+k_2\cdot\vec{v_2}+……+k_p\cdot\vec{v_p}=0 k1⋅v1+k2⋅v2+……+kp⋅vp=0
设 k i k_i ki不为0，则 k i ⋅ v i ⃗ = − k 1 ⋅ v 1 ⃗ − k 2 ⋅ v 2 ⃗ − … … − k p ⋅ v p ⃗ k_i\cdot \vec{v_i} = -k_1\cdot\vec{v_1}-k_2\cdot\vec{v_2}-……-k_p\cdot\vec{v_p} ki⋅vi=−k1⋅v1−k2⋅v2−……−kp⋅vp
可得
v i ⃗ = − k 1 k i ⋅ v 1 ⃗ − k 2 k i ⋅ v 2 ⃗ − … … − k p k i ⋅ v p ⃗ \vec{v_i} = -\frac{k_1}{k_i}\cdot\vec{v_1}-\frac{k_2}{k_i}\cdot\vec{v_2}-……-\frac{k_p}{k_i}\cdot\vec{v_p} vi
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