AcWing 877. 扩展欧几里得算法（递归，裴蜀定理，gcd）

给定 n 对正整数 ai,bi，对于每对数，求出一组 xi,yi，使其满足 ai×xi+bi×yi=gcd(ai,bi)。

输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含两个整数 ai,bi。

输出格式
输出共 n 行，对于每组 ai,bi，求出一组满足条件的 xi,yi，每组结果占一行。

本题答案不唯一，输出任意满足条件的 xi,yi 均可。

数据范围
1≤n≤10^5,
1≤ai,bi≤2×10^9

输入样例：
2
4 6
8 18

输出样例：
-1 1
-2 1

拓展欧几里得算法

时间复杂度：O(n∗log(a+b))

①拓展欧几里得算法解决的问题:对于任意给定的两个正整数a、b，求解x，y使得ax+by=(a,b) (a,b)的意思：a和b的最大公约数

②问题引入：裴蜀定理
给定任意一对正整数a、b，存在非零整数x、y，使得ax+by=(a,b)

扩欧作用：求解方程 ax+by=gcd(a,b) 的解（x、y）、求逆元 等

推理：

①当 b=0 时 ax+by=a 所以 x=1,y=0

②当 b≠0 时

设gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=d

又
by′+(a%b)x′=gcd(b,a%b)

by′+(a−⌊a/b⌋∗b)*x’=gcd(b,a%b)

b(y’−[a/b]x’)+ax’=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)=d

所以

x=x′（不变），y=y’−[a/b]x’（更新）

代码简化如下（要用scanf，这时候连cin解除同步都比它慢得多）

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)//不但可以求出 a 和 b 的最大公约数 d ，还可以顺带求出方程的解 x 和 y
{
    if(!b)
    {
        d=a, x=1, y=0;//此时b=0时直接得到x,y的解和最大公约数d
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,d,y,x), y-=a/b*x;
}

int main()
{
    int n; scanf("%d",&n);
    while (n -- )
    {
        int a,b,d,x,y;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        exgcd(a,b,d,x,y);
        printf("%d %d\n",x,y);
    }
    return 0;
}

方式二代码：

//本题需要用子问题的结果来计算当前问题的结果，所以需要等子问题算完之后再算。
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;//到达递归边界后开始向上一层返回
    }
    //等子问题算完之后再算当前问题的结果
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=y;//把x,y变成上一层的
    y=x-(a/b)*y;
    x=t;
    return r;//得到a,b的最大公因数
}
int main()
{
    cin.tie(0),ios::sync_with_stdio(false);
    int n;
    cin>>n;
    while (n -- )
    {
        int a,b,x,y;
        cin>>a>>b;
        exgcd(a,b,x,y);
        printf("%d %d\n",x,y);
    }
    return 0;
}