POJ 1845 Sumdiv (逆元等比数列求和)

最新推荐文章于 2021-06-07 10:56:43 发布

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本文介绍了逆元的概念及其在ACM-ICPC竞赛中的应用，详细讲解了如何利用扩展欧几里得算法及费马小定理求解逆元，并提供了一种适用于所有情况的通用求逆元方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

今天我们来探讨逆元在ACM-ICPC竞赛中的应用，逆元是一个很重要的概念，必须学会使用它。

对于正整数和，如果有，那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做模的逆元。

逆元一般用扩展欧几里得算法来求得，如果为素数，那么还可以根据费马小定理得到逆元为。

推导过程如下

求现在来看一个逆元最常见问题，求如下表达式的值（已知）

当然这个经典的问题有很多方法，最常见的就是扩展欧几里得，如果是素数，还可以用费马小定理。

但是你会发现费马小定理和扩展欧几里得算法求逆元是有局限性的，它们都会要求与互素。实际上我们还有一

种通用的求逆元方法，适合所有情况。公式如下

现在我们来证明它，已知，证明步骤如下

接下来来实战一下，看几个关于逆元的题目。

题目：http://poj.org/problem?id=1845

题意：给定两个正整数和，求的所有因子和对9901取余后的值。

分析：很容易知道，先把分解得到，那么得到，那么

的所有因子和的表达式如下

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> P;
const int MOD = 9901;
int vis[10000];
vector<int> pri;
vector<P> Div;

ll mul(ll a, ll n, ll k) {
  if(n == 0) return 0;
  if(n == 1) return a % k;
  ll ans = mul(a, n/2, k);
  ans += ans;
  if(n & 1) ans += a;
  return ans % k;
}

ll pow(ll a, ll n, ll mod) { 
  if(n == 0) return 1;
  ll ans = pow(a, n/2, mod);
  ans = mul(ans, ans, mod);
  if(n & 1) ans *= a % mod;
  return ans % mod;
}

void get_Prime() {
  int n = (int)sqrt((double)50000005);
  for(int i = 2; i <= n; i++)
    for(int j = i*2; j <= n; j += i)
      vis[j] = 1;
  for(int i = 2; i <= n; i++) if(!vis[i])
    pri.push_back(i);
}

void get_div(ll x) {
  for(int i = 0; i < pri.size(); i++) {
    if(x % pri[i] == 0) {
      int num = 0;
      while(x % pri[i] == 0) {
        x /= pri[i];
        ++num;
      }
      Div.push_back(P(pri[i], num));
    }
  }
  if(x != 1) Div.push_back(P(x, 1));
}

ll cal(ll p, ll n) { // a + a^1 + a^2 + a^3 + ... ... + a^n
  n++;
  ll M = (p-1)*MOD;
  return (pow(p, n, M) + M - 1) / (p - 1);
}

int main() {
  ll A, B;
  cin >> A >> B;
  get_Prime();
  get_div(A);
  ll sum = 1;
  for(int i = 0; i < Div.size(); i++) {
    sum *= cal(Div[i].first, Div[i].second*B)%MOD;
    sum %= MOD;
  }
  cout << sum << endl;
  return 0;
}