数论杂谈

数论（小部分前置芝士）

• 数论的定义：

  数论是专门研究整数的性质的数学分支，其中大部分研究的是正整数。

  数论对信息学有很大作用也是考试恶心人的利器。

  • 各类定义：

    • 定理：符合某些条件的语句。一般的定理需要证明。

      • 公理：公认正确的连续性定理，不需要证明。

    • 复数(Complex Number) ：可以表示的数，包含实数和虚数。

      • 实数(Real Number) ：可以用数轴表示的数，也可以写成数字（有些实数带符号，比如符号，分数线和根号）的形式。

        • 实数包含有理数和无理数。

        • 任意一个实数的偶数次幂都$>0$

        • 有理数(Rational Number) ：可分类成整数和分数。

          • 整数(Integer) ：类似$0,-1,1,-2,2$这样的数。

            • 整数是数学上的基本概念，所以没有定义。

            • 整数包含正整数(Positive Integer)，负整数(Negative Integer)和 $0$ (Zero)

          • 分数(Fraction)：即无限循环小数和有限小数的总称。分数是有理数中除了整数外的一切数。

            • 分数也分为正分数(Positive Fraction)和负分数(Negative Fraction)。

          • 有理数的封闭性：任意有理数作运算都得到一个有理数。

      • 无理数(Quational Number) ：无限不循环小数。

        • 无理数也分正负，这里就不细说。

        • 无理数作加减乘除的运算，都可以得到一个多项式。

        • 同类无理数之间可以加减。任意无理数之间可以乘除。

      • 任意实数之间可以作运算。

      • 虚数(Imagine Number) ：不能用数轴表示的数，是不切实际的。

        • 任意一个虚数的平方为$-1$

        • 虚数可以用复平面表示。复平面就像一个平面直角坐标系。坐标系中的x轴成为实数轴，y轴成为虚数轴（虚数系数轴）。

        • 虚数可以写成字母形式，例如$i,j$。

        • 任意一个虚数都可以表示成$a+bi$的形式，其中$a,b$为有理数。

        • 在复平面中，$a+bi$的位置在$(a,b)$，原点和$a+bi$所在点的连线与x轴的夹角成为辐角。

        • 如果两个虚数的积为实数则称这两个虚数共轭。其中任意一个虚数为另一个虚数的共轭复数。

• 集合：

  • 集合是数学上的基本概念，所以集合没有定义。

  • 集合的每一个单独的量成为该集合的元素。

  • 集合的一些量组成的集合成为该集合的子集。

  • 集合常用符号：

    $\varnothing$ 或 $\varnothing$ 空集 没有元素的集合。

    $\in$ 属于 表示一个数属于某个集合。

    $\notin$ 不属于 表示一个数不属于某个集合。

    例子：S={1,2,3,4,5}S=\{1,2,3,4,5\}S={1,2,3,4,5}，则$1\in S,6\notin S$

    $\subseteq$ 包含于 表示一个集合是另一个集合的子集。

    $⊈$ 不包含于 表示一个集合不是另一个集合的子集。

    例子：S1={1,2,3,4,5},S2={2,3,4},S3={5,6,7}S_1=\{1,2,3,4,5\},S_2=\{2,3,4\},S_3=\{5,6,7\}S1​={1,2,3,4,5},S2​={2,3,4},S3​={5,6,7}，则$S_2\subseteq S_1,S_3⊈S_1$

    $\cap$ 交 表示两个集合的共同部分。

    $\cup$ 并 表示两个集合的共同部分和两个集合的单独部分。

    例子：S1={1,2,3,4},S2={2,3,4,5},S3={5,6,7},S4=∅S_1=\{1,2,3,4\},S_2=\{2,3,4,5\},S_3=\{5,6,7\},S_4=\varnothingS1​={1,2,3,4},S2​={2,3,4,5},S3​={5,6,7},S4​=∅，

    则有下列公式:

    S2∩S1={2,3,4}\boxed{S_2\cap S_1=\{2,3,4\}}S2​∩S1​={2,3,4}​

    S2∪S1={1,2,3,4,5}\boxed{S_2\cup S1=\{1,2,3,4,5\}}S2​∪S1={1,2,3,4,5}​

    $\boxed{S_1\cap S_3=\varnothing }$

    S1∪S3={1,2,3,4,5,6,7}\boxed{S_1\cup S_3=\{1,2,3,4,5,6,7\}}S1​∪S3​={1,2,3,4,5,6,7}​

    $\boxed{S_1\cap S_4=\varnothing }$

    $\boxed{S_1\cup S_4=S_1}$

    • 集合的公理：

      • 集合的每个元素都具有互异性。

  • 通用集合：

    $N$ 自然数集（意思是这个集合包含所有的自然数。下方的意思均与该项类似）

    $N^{+}$ 正整数集

    $Z$ 整数集

    $Z^{+}$ 正整数集

    $Q$ 有理数集

    $R$ 实数集

• 整除

  • 前置芝士： 若$m,n\in Z$ 且 $n>0$，则$\exists q,r$且$0\le r<n$ 使得 $m=qn+r$

   此处不予证明，因为这是句废话，而且需要很长的篇幅来证明。
  

  • 对于$m,n\in Z$ 且 $m\ne 0$，若$n=cm,c\in Z$，则称$m$整除$n$。记作：$m\mid n$

    • 注意：$m|n$指的是$\frac{n}{m}$为整数，即$n=cm,c\in Z$.

  • 一些引理：

    • 若 $n\in Z$ 则有 $1\mid n$

    • 若 $m\ne 0$ 则 $m\mid 0$

    • 若 $m\mid n,n\mid q$ 则 $m\mid q$

    • 若 $m\mid 1$ 则 $m=1$或$-1$

    • 若 $m\mid n,n\mid m$ 则$m=\pm n$

• gcd（最大公因数）：

  • 任意两个数只有唯一一个最大公因数。

  • 最大公因数定义：

    • 对$a,b$且$a,b$不全为$0$

      若$有c\in Z满足：$

      $c\mid a,c\mid b$

      若 $\exists d\mid a$ 且 $d\mid b$ 则 $d\mid c$

公因数：指两个数都有的因数

例如 8 的因数为 1,2,4,8，6 的因数为 1,2,3,6，则 8 和 6 的公因数为 1,2

最大公因数：指两个数的公因数中的最大数。

上面的例子中，6 和 8 的最大公因数为 2，记作gcd(6,8)=2

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组合

Chapter I 卡特兰数

典型模型：

有一家电影院票价5美刀。
有2n个客人。
其中n个客人有5美刀。
另外n个客人有10美刀。
做生意需要找零钱，所以当客人付出10美刀时，你需要找零5美刀。
问题在于，你一开始没有钱。所以你需要在自己足够的有5美刀钱币时才能收10美刀钱币。
求你能成功找零的情况下，客人来的顺序的方案数。

答案：$h_n$

解析：

创建一个n*n的矩阵。现在我们在矩阵的(1,1)处。
如图：

n=5
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

假设收一个5美刀钱的人等价于向下走一步。
收一个10美刀钱的人等价于向右走一步。
则问题转化为：保证当前位置不在主对角线（左上->右下）上方（可以在线上）。
如图，* 为可走区域：

n=5
* 0 0 0 0
* * 0 0 0
* * * 0 0
* * * * 0
* * * * *

公式：

• $h_i=\sum _{i=0}^{n-1}{h}_i\times h_{n-i-1}$

• $h_n=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$

• $h_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$

• $h_n=h_{n-1}\times (4n-2)/(n+1)$

Chapter II 斯特林数

• 第一类

  • $n$个不同元素组成$m$个环排列

    递推公式：$S_{1_{n,m}}=S_{1_{n-1,m-1}}+S_{1_{n-1,m}}\times (n-1)$

  • 第一类斯特林数很难想出来

• 第二类

  • $n$个不同的球放入$m$个相同的盒子，盒子不定

    递推公式：$S_{2_{n,m}}=S_{2_{n-1,m-1}}+S_{2_{n-1,m}}\times m$

  -第二类斯特林数相对第一类而言，较为简单，但是还是难

斯特林数行列的模板都是黑题

数论没一个简单的东西，全寄吧是废人的题

Chapter III Lucas定理

前置芝士: $C_n^m$可以表示为$\left(\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right)$

然后你就可以这样祖安他人了。正确的

一个质数$p$，如果$n=sp+q$，$m=tp+r$

则$\left(\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right)\equiv \left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}q\\ r\end{array}\right)(\mathrm{mod}p)$

引理：

1. p为质数时，$\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$

2. 多项式$f(x)=\sum _{i=0}^N{a}_i{x}_i$，$g(x)=\sum _{i=0}^M{b}_i{x}_i$

3. $(1+x{)}^n=\sum _{i=0}^n{C}_n^i{x}^i$

Chapter IV 欧拉函数和素数函数

素数函数：$\pi (n)$ 表示$n$内质数的个数。

欧拉函数：$\phi (n)$ 表示$n$内和$n$互质的数的个数。

• 欧拉函数计算公式：$\phi (m)=m\prod _{p\mid m}(1-\frac{1}{p})$

• 欧拉函数的性质：

  • 若$p$是质数，则$\phi (p)=p-1$

  • $\forall m\in N^{+}$，有$\sum _{d\mid m}\phi (d)=\sum _{d\mid m}\phi (\frac{m}{d})=m$

    • 证明：

    • 对$\forall d\mid m$，$1\le a\le m$，设$(a,m)=d$，则$(\frac{a}{d},\frac{m}{d})=1$，则$(a,m)=d$有$\phi (d)$种取法。则$\sum _{d\mid m}\phi (\frac{m}{d})=m$

  • $a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$，$(a,m)=1$时。

Chapter V 素数筛法

筛法	时间复杂度	原理
埃氏筛	$O(NlnlnN)$	筛选到一个质数，把这个质数的所有$\le n$的倍数全都筛掉
欧拉筛	较快，$O(N)$	对于每一个数，被其最小质数因子筛去

不提供证明，因为作者不会微只因分

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又是数论

Chapter I 一些函数

• 质数函数 $\pi (m)$ 表示 $\le m$ 的正整数中的质数个数。

• 欧拉函数 $\phi (m)$ 表示 $1$~$m$ 中和 $m$ 互质的数。

  • 对$m\in Z^{+}$，$\phi (m)$ 表示 {1,2,…,m−1}\{1,2,\dots,m-1\}{1,2,…,m−1} 中和 $m$ 互质的元素的个数。

• 莫比乌斯函数 $\mu (m)=\{\begin{array}{ll}0& m_{have}{P}^2\\ 1& m=1\\ (-1{)}^k& m=p_1{p}_2\dots p_k\end{array}$

PS: $m_{have}{P}^2$表示m的因子中含有P的平方

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Chapter II 简化剩余系

{x∣≡k(modm),k∈{1,2,…,m−1}&(k,m)=1}\{x |\equiv k\pmod{m},k \in \{1,2,\dots,m-1\}\& (k,m)=1\}{x∣≡k(modm),k∈{1,2,…,m−1}&(k,m)=1}

人话： 由 $\phi (m)$ 个整数组成，且每个元素与m互质，且任意两个元素 $(\mathrm{mod}m)$ 不同余。

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Chapter III 拓展芝士：群的定义

本质是一个集合在该集合上定义运算$\times$（乘法）且该集合在这两种运算满足：

1. 对 $\times$ 封闭：

   • $a,b\in S,a\times b\in S$

2. $a(bc)=(ab)c$

3. $\exists$单位元 $e\in S$，有$a^{-1}$ 满足$a\times a^{-1}=e$

4. $\forall a\in S$，有$a^{-1}$满足$a\times a^{-1}=a^{-1}\times a=e$

• 如果满足上述条件，则称 $S$ 为群

举个栗子

1. 非零实数集，关于普通乘法

2. {1}\{1\}{1}，关于普通乘法。

   • 类似于{1}\{1\}{1}这样的一个元素的集合成为平凡群

     真 平 凡 啊

3. 有理数集(去除0)，关于普通乘法

4. $Z$，关于普通加法

   • $e=0$

   • $a^{-1}=-a$

5. n阶可逆阵，对于矩阵乘法。

6. $R$

   • $+$ 作成群

   • $\times$ 不作成群

Chapter IV 乘法函数

前置芝士：算术函数

• 算术函数是指定义在所有正整数上的函数。

如果算术函数 $f$ 满足 $f(mn)=f(m)f(n)$

则称$f$为乘法函数。

注意：$(m,n)$=1

如果$f$对任意$m,n\in Z^{+}$，有$f(m,n)=f(m)f(n)$，则称$f$为完全乘法函数。

• $\phi$ 是乘法函数

一些定理

• 若$f$为乘法函数且$n=p_1^{a_1}\dots p_s^{a_s}$为$n$的素数分解，则$f(n)=\prod _{i=1}^s{p}_i^{a_i}$

• 令$p$为素数，$a\in Z^{+}$，则：$\phi (p^a)=p^q-p^{a-1}$

• 由于$\phi$ 是乘法函数，则$\phi (nm)=\phi (n)\times \phi (m)$

证明：

$\left[\begin{array}{ccccc}1& m+1& 2m+1& \dots & (n-1)m+1\\ 2& m+2& 2m+2& \dots & (n-1)m+2\\ 3& m+3& 2m+3& \dots 3& (n-1)m+3\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ m& 2m& 3m& \dots & nm\\ \phi (m)& & & & \phi (nm)\end{array}\right]$

看图心自知其实作者忘了怎么证明了

Chapter V 中国剩余定理

举个经典的例子：

lty2000 have a number but I don't know it.
Three three count it mod equal one.
Five five count it mod equal three.
Seven seven count it mod equal five.
Question:what's the number?

人话：求$\{\begin{array}{l}x\equiv 1(\mathrm{mod}3)\\ x\equiv 3(\mathrm{mod}5)\\ x\equiv 5(\mathrm{mod}7)\end{array}$的解

Chapter VI Pollard算法基本介绍（没码）

泼腊肉！恶臭恶俗的泼腊肉！

算法用于：对于$n$，找$n$的因数
适用数据范围：n很大，且素因数$p$很大。

引理：
若 $a,b\in Z^{+}$，则 $2^a-1(\mathrm{mod}{2}^b-1)$的最小正余数为$2^r-1$，$r$是$a\mathrm{mod}b$的最小正余数

$r(A)=$阶梯形中主元的个数