数论杂谈

几何微粒子

已于 2023-05-18 14:58:25 修改

阅读量541

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：数学和智慧文章标签：学习

于 2023-03-26 14:04:28 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Insanity_killer/article/details/129778790

数学和智慧专栏收录该内容

2 篇文章

订阅专栏

数论（小部分前置芝士）

数论的定义：

数论是专门研究整数的性质的数学分支，其中大部分研究的是正整数。

数论对信息学有很大作用~~也是考试恶心人的利器~~。
- 各类定义：
  - 定理：符合某些条件的语句。一般的定理需要证明。
    - 公理：公认正确的连续性定理，不需要证明。
  - 复数(Complex Number) ：可以表示的数，包含实数和虚数。
    - 实数(Real Number) ：可以用数轴表示的数，也可以写成数字（有些实数带符号，比如符号，分数线和根号）的形式。
      - 实数包含有理数和无理数。
      - 任意一个实数的偶数次幂都 $> 0$
      - 有理数(Rational Number) ：可分类成整数和分数。
        
        整数(Integer) ：类似 $0, - 1, 1, - 2, 2$ 这样的数。
        
        整数是数学上的基本概念，所以没有定义。
        
        整数包含正整数(Positive Integer)，负整数(Negative Integer)和 $0$ (Zero)
        
        分数(Fraction)：即无限循环小数和有限小数的总称。分数是有理数中除了整数外的一切数。
        
        分数也分为正分数(Positive Fraction)和负分数(Negative Fraction)。
        
        有理数的封闭性：任意有理数作运算都得到一个有理数。
    - 无理数(Quational Number) ：无限不循环小数。
      - 无理数也分正负，这里就不细说。
      - 无理数作加减乘除的运算，都可以得到一个多项式。
      - 同类无理数之间可以加减。任意无理数之间可以乘除。
    - 任意实数之间可以作运算。
    - 虚数(Imagine Number) ：不能用数轴表示的数，是不切实际的。
      - 任意一个虚数的平方为 $- 1$
      - 虚数可以用复平面表示。复平面就像一个平面直角坐标系。坐标系中的x轴成为实数轴，y轴成为虚数轴（虚数系数轴）。
      - 虚数可以写成字母形式，例如 $i, j$ 。
      - 任意一个虚数都可以表示成 $a + bi$ 的形式，其中 $a, b$ 为有理数。
      - 在复平面中， $a + bi$ 的位置在 $(a, b)$ ，原点和 $a + bi$ 所在点的连线与x轴的夹角成为辐角。
      - 如果两个虚数的积为实数则称这两个虚数共轭。其中任意一个虚数为另一个虚数的共轭复数。
集合：
- 集合是数学上的基本概念，所以集合没有定义。
- 集合的每一个单独的量成为该集合的元素。
- 集合的一些量组成的集合成为该集合的子集。
- 集合常用符号：
  
  $∅\emptyset$ 或 $∅\varnothing$ 空集没有元素的集合。
  
  $∈\in$ 属于表示一个数属于某个集合。
  
  $∉\notin$ 不属于 表示一个数不属于某个集合。
  
  例子： $S=\{1,2,3,4,5\}$ ，则 $1∈S,6∉S1\in S,6\notin S$
  
  $⊆\subseteq$ 包含于 表示一个集合是另一个集合的子集。
  
  $⊈\nsubseteq$ 不包含于 表示一个集合不是另一个集合的子集。
  
  例子： $S_1=\{1,2,3,4,5\},S_2=\{2,3,4\},S_3=\{5,6,7\}$ ，则 $S2⊆S1,S3⊈S1S_2\subseteq S_1,S_3\nsubseteq S_1$
  
  $∩\cap$ 交表示两个集合的共同部分。
  
  $∪\cup$ 并表示两个集合的共同部分和两个集合的单独部分。
  
  例子： $S1={1,2,3,4},S2={2,3,4,5},S3={5,6,7},S4=∅S_1=\{1,2,3,4\},S_2=\{2,3,4,5\},S_3=\{5,6,7\},S_4=\varnothing$ ，
  
  则有下列公式:
  
  $S2∩S1={2,3,4}\boxed{S_2\cap S_1=\{2,3,4\}}$
  
  $S2∪S1={1,2,3,4,5}\boxed{S_2\cup S1=\{1,2,3,4,5\}}$
  
  $S1∩S3=∅\boxed{S_1\cap S_3=\varnothing}$
  
  $S1∪S3={1,2,3,4,5,6,7}\boxed{S_1\cup S_3=\{1,2,3,4,5,6,7\}}$
  
  $S1∩S4=∅\boxed{S_1\cap S_4=\varnothing}$
  
  $S1∪S4=S1\boxed{S_1\cup S_4=S_1}$
  - 集合的公理：
    - 集合的每个元素都具有互异性。
- 通用集合：
  
  $N$ 自然数集（意思是这个集合包含所有的自然数。下方的意思均与该项类似）
  
  $N^+$ 正整数集
  
  $Z$ 整数集
  
  $Z^+$ 正整数集
  
  $Q$ 有理数集
  
  $R$ 实数集
整除
- 前置芝士： 若 $\in Z$ 且 $n > 0$ ，则 $∃q,r\exists q,r$ 且 $\le r < n$ 使得 $m = q n + r$
```
 此处不予证明，因为这是句废话，而且需要很长的篇幅来证明。
```
- 对于 $\in Z$ 且 $\ne 0$ ，若 $n=cm,c∈Zn=cm,c\in Z$ ，则称 $m$ 整除 $n$ 。记作： $m∣nm\mid n$
  - 注意： $m ∣ n$ 指的是 $nm\displaystyle\frac{n}{m}$ 为整数，即 $n=cm,c∈Zn=cm,c\in Z$ .
- 一些引理：
  - 若 $n∈Zn\in Z$ 则有 $1∣n1\mid n$
  - 若 $m≠0m\ne0$ 则 $m∣0m\mid 0$
  - 若 $m∣n,n∣qm\mid n,n\mid q$ 则 $m∣qm\mid q$
  - 若 $m∣1m\mid 1$ 则 $m = 1$ 或 $- 1$
  - 若 $m∣n,n∣mm\mid n,n\mid m$ 则 $m=±nm=\pm n$
gcd（最大公因数）：
- 任意两个数只有唯一一个最大公因数。
- 最大公因数定义：
  - 对 $a, b$ 且 $a, b$ 不全为 $0$
    
    若 $有c∈Z满足：有c\in Z满足：$
    
    $c∣a,c∣bc\mid a,c\mid b$
    
    若 $d∣a\exists\,d\mid a$ 且 $d∣bd\mid b$ 则 $d∣cd\mid c$

公因数：指两个数都有的因数

例如 8 的因数为 1,2,4,8，6 的因数为 1,2,3,6，则 8 和 6 的公因数为 1,2

最大公因数：指两个数的公因数中的最大数。

上面的例子中，6 和 8 的最大公因数为 2，记作gcd(6,8)=2

组合

Chapter I 卡特兰数

典型模型：

有一家电影院票价5美刀。
有2n个客人。
其中n个客人有5美刀。
另外n个客人有10美刀。
做生意需要找零钱，所以当客人付出10美刀时，你需要找零5美刀。
问题在于，你一开始没有钱。所以你需要在自己足够的有5美刀钱币时才能收10美刀钱币。
求你能成功找零的情况下，客人来的顺序的方案数。

答案： $h_n$

解析：

创建一个n*n的矩阵。现在我们在矩阵的(1,1)处。
如图：

n=5
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

假设收一个5美刀钱的人等价于向下走一步。
收一个10美刀钱的人等价于向右走一步。
则问题转化为：保证当前位置不在主对角线（左上->右下）上方（可以在线上）。
如图，* 为可走区域：

n=5
* 0 0 0 0
* * 0 0 0
* * * 0 0
* * * * 0
* * * * *

公式：

$hi=∑i=0n−1hi×hn−i−1h_i=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{n-1} h_i\times h_{n-i-1}$
$hn=C2nnn+1h_n=\displaystyle\frac{C^n_{2n}}{n+1}$
$h_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$
$hn=hn−1×(4n−2)/(n+1)h_n=h_{n-1}\times(4n-2) /(n+1)$

Chapter II 斯特林数

第一类
- $n$ 个不同元素组成 $m$ 个环排列
  
  递推公式： $S1n,m=S1n−1,m−1+S1n−1,m×(n−1)S_{1_{n,m}}=S_{1_{n-1,m-1}}+S_{1_{n-1,m}}\times (n-1)$
- 第一类斯特林数很难想出来
第二类
- $n$ 个不同的球放入 $m$ 个相同的盒子，盒子不定
  
  递推公式： $S2n,m=S2n−1,m−1+S2n−1,m×mS_{2_{n,m}}=S_{2_{n-1,m-1}}+S_{2_{n-1,m}}\times m$
-第二类斯特林数相对第一类而言，较为简单，但是还是难

~~斯特林数行列的模板都是黑题~~

~~数论没一个简单的东西，全寄吧是废人的题~~

Chapter III Lucas定理

前置芝士: $C_n^m$ 可以表示为 $(nm)\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$

~~然后你就可以这样祖安他人了。正确的~~

一个质数 $p$ ，如果 $n = s p + q$ ， $m = tp + r$

则 $(nm)≡(st)(qr)(modp)\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}q\\r\end{pmatrix}\pmod{p}$

引理：

p为质数时， $(pq)≡0(modp)\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}\equiv0\pmod{p}$
多项式 $f(x)=∑i=0Naixi\displaystyle f(x)=\sum\limits_{i=0}^{N}a_ix_i$ ， $g(x)=∑i=0Mbixig(x)=\sum\limits_{i=0}^{M}b_ix_i$
$(1+x)n=∑i=0nCnixi(1+x)^n=\displaystyle \sum\limits_{i=0}^{n}C_n^ix^i$

Chapter IV 欧拉函数和素数函数

素数函数： $π(n)\pi(n)$ 表示 $n$ 内质数的个数。

欧拉函数： $φ(n)\varphi(n)$ 表示 $n$ 内和 $n$ 互质的数的个数。

欧拉函数计算公式： $φ(m)=m∏p∣m(1−1p)\varphi(m)=m\displaystyle\prod\limits_{p\mid m}(1-\frac{1}{p})$
欧拉函数的性质：
- 若 $p$ 是质数，则 $φ(p)=p−1\varphi(p)=p-1$
- $∀m∈N+\forall m \in N^+$ ，有 $∑d∣mφ(d)=∑d∣mφ(md)=m\displaystyle\sum\limits_{d\mid m}\varphi(d)=\sum\limits_{d\mid m}\varphi(\frac{m}{d})=m$
  - 证明：
  - 对 $∀d∣m\forall d\mid m$ ， $1≤a≤m1\le a \le m$ ，设 $(a, m) = d$ ，则 $(ad,md)=1(\displaystyle\frac{a}{d},\frac{m}{d})=1$ ，则 $(a, m) = d$ 有 $φ(d)\varphi(d)$ 种取法。则 $∑d∣mφ(md)=m\displaystyle\sum\limits_{d\mid m}\varphi(\frac{m}{d})=m$
- $aφ(m)≡1(modm)a^{\varphi(m)}\equiv1\pmod{m}$ ， $(a, m) = 1$ 时。

Chapter V 素数筛法

筛法	时间复杂度	原理
埃氏筛	$O (Nl n l n N)$	筛选到一个质数，把这个质数的所有 $≤n\le n$ 的倍数全都筛掉
欧拉筛	较快， $O (N)$	对于每一个数，被其最小质数因子筛去

~~不提供证明，因为作者不会微只因分~~

又是数论

Chapter I 一些函数

质数函数 $π(m)\pi(m)$ 表示 $≤m\le m$ 的正整数中的质数个数。
欧拉函数 $φ(m)\varphi(m)$ 表示 $1$ ~ $m$ 中和 $m$ 互质的数。
- 对 $\in Z^+$ ， $φ(m)\varphi(m)$ 表示 ${1,2,…,m−1}\{1,2,\dots,m-1\}$ 中和 $m$ 互质的元素的个数。
莫比乌斯函数 $μ(m)={0mhaveP21m=1(−1)km=p1p2…pk\mu (m)=\begin{cases}0&m_{have}P^2\\1&m=1\\(-1)^k&m=p_1p_2\dots p_k\end{cases}$

PS: $m_{have}P^2$ 表示m的因子中含有P的平方

Chapter II 简化剩余系

${x∣≡k(modm),k∈{1,2,…,m−1}&(k,m)=1}\{x |\equiv k\pmod{m},k \in \{1,2,\dots,m-1\}\& (k,m)=1\}$

人话： 由 $φ(m)\varphi(m)$ 个整数组成，且每个元素与m互质，且任意两个元素 $(modm)\pmod{m}$ 不同余。

Chapter III 拓展芝士：群的定义

本质是一个集合在该集合上定义运算 $×\times$ （乘法）且该集合在这两种运算满足：

对 $×\times$ 封闭：
- $a,b∈S,a×b∈Sa,b\in S,a\times b\in S$
$a (b c) = (ab) c$
$∃\exists$ 单位元 $e∈Se\in S$ ，有 $a^{-1}$ 满足 $a×a−1=ea\times a^{-1}=e$
$∀a∈S\forall a\in S$ ，有 $a^{-1}$ 满足 $a×a−1=a−1×a=ea\times a^{-1}=a^{-1}\times a=e$

如果满足上述条件，则称 $S$ 为群

举个栗子

非零实数集，关于普通乘法
${1\}$ ，关于普通乘法。
- 类似于 ${1\}$ 这样的一个元素的集合成为平凡群
  
  ~~真平凡啊~~
有理数集(去除0)，关于普通乘法
$Z$ ，关于普通加法
- $e = 0$
- $a^{-1}=-a$
n阶可逆阵，对于矩阵乘法。
$R$
- $+$ 作成群
- $×\times$ 不作成群

Chapter IV 乘法函数

前置芝士：算术函数

算术函数是指定义在所有正整数上的函数。

如果算术函数 $f$ 满足 $f (mn) = f (m) f (n)$

则称 $f$ 为乘法函数。

注意： $(m, n)$ =1

如果 $f$ 对任意 $m,n∈Z+m,n\in Z^+$ ，有 $f (m, n) = f (m) f (n)$ ，则称 $f$ 为完全乘法函数。

$φ\varphi$ 是乘法函数

一些定理

若 $f$ 为乘法函数且 $n=p1a1…psasn=p_1^{a_1}\dots p_s^{a_s}$ 为 $n$ 的素数分解，则 $f(n)=∏i=1spiaif(n)=\displaystyle\prod\limits_{i=1}^{s}p_i^{a_i}$
令 $p$ 为素数， $a∈Z+a\in Z^+$ ，则： $φ(pa)=pq−pa−1\varphi(p^a)=p^q-p^{a-1}$
由于 $φ\varphi$ 是乘法函数，则 $φ(nm)=φ(n)×φ(m)\varphi(nm)=\varphi(n)\times\varphi(m)$

证明：

$[1m+12m+1…(n−1)m+12m+22m+2…(n−1)m+23m+32m+3…3(n−1)m+3……………m2m3m…nmφ(m)φ(nm)]\begin{bmatrix}1&m+1&2m+1&\dots&(n-1)m+1\\2&m+2&2m+2&\dots&(n-1)m+2\\3&m+3&2m+3&\dots3&(n-1)m+3\\\dots&\dots&\dots&\dots&\dots\\m&2m&3m&\dots&nm\\\varphi(m)&&&&\varphi(nm)\end{bmatrix}$

看图心自知~~其实作者忘了怎么证明了~~

Chapter V 中国剩余定理

举个经典的例子：

lty2000 have a number but I don't know it.
Three three count it mod equal one.
Five five count it mod equal three.
Seven seven count it mod equal five.
Question:what's the number?

人话：求 ${x≡1(mod3)x≡3(mod5)x≡5(mod7)\begin{cases}x\equiv 1\pmod{3}\\x\equiv 3\pmod{5}\\x\equiv 5\pmod{7}\end{cases}$ 的解