相似矩阵对角化 | 找到一个可逆矩阵 P 使得 P^(-1)AP 成为一个对角矩阵

最新推荐文章于 2024-02-27 16:17:26 发布

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#线性代数

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本文介绍了矩阵对角化的条件及其与线性无关特征向量的关系，并通过一个具体的3阶矩阵示例，详细计算了特征值、特征向量，以及如何构造可逆矩阵实现对角化。最后，给出了对角化后的矩阵指数运算的表达式。

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理论上的证明我这里就暂时不写了（懒），直接上结论和例题，理论证明等以后在补充吧。（果断挖坑）

定理：

对于 $n$ 阶矩阵 $A$ ，存在一个可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP$ 是一个对角矩阵的充要条件是， $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

设 $A$ 的特征向量为 $,εn\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 对应的特征值为 $,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 。取 $,εn]P=[\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n]$ 则 $P^{-1}AP$ 是一个对角矩阵，对角线上的元素为 $,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$

光说定理也太乏味了，来个例题加深一下理解吧

例题

设

$A=[012121210]A=\begin{bmatrix} 0&1&\sqrt{2}\\ 1&\sqrt{2}&1\\ \sqrt{2}&1&0\end{bmatrix}$

求 $A$ 的特征值和特征向量
找到一个可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP$ 是一个对角矩阵
求 $A^n$ 的表达式

参考答案

$∣λE−A∣=λ(λ+2)(λ−22)=0|\lambda E-A| = \lambda(\lambda+\sqrt{2})(\lambda-2\sqrt{2})=0$

得到 $A$ 的特征值为

$λ1=−2,λ2=22,λ3=0\lambda_1=-\sqrt{2},\lambda_2=2\sqrt{2},\lambda_3=0$

对于特征值 $λ1=−2\lambda_1=-\sqrt{2}$ ,有特征向量 $ε1=(1,0,−1)T\varepsilon_1=(1,0,-1)^{T}$
对于特征值 $λ2=22\lambda_2=2\sqrt{2}$ ,有特征向量 $ε2=(1,2,1)T\varepsilon_2=(1,\sqrt{2},1)^{T}$
对于特征值 $λ3=0\lambda_3=0$ ,有特征向量 $ε3=(1,−2,1)T\varepsilon_3=(1,-\sqrt{2},1)^{T}$

令：

$=[\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3]= \begin{bmatrix} 1 & 1 &1\\ 0 & \sqrt{2} &-\sqrt{2}\\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

根据前文提到的定理

$P−1AP=[−2000220000]P^{-1}AP = \begin{bmatrix} -\sqrt{2}&0&0\\ 0&2\sqrt{2}&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}$
$An=P[−2000220000]nP−1=[11102−2−111][−2000220000]n[11102−2−111]−1=14[11102−2−111][(−2)n000(22)n0000][20−21211−21]=2n4[2(−1)n+2n2⋅2n(−1)n+12+2n2n22n+12n2(−1)n+12+2n2⋅2n(−1)n2+2n]\begin{aligned}A^n &= P\begin{bmatrix} -\sqrt{2}&0&0\\ 0&2\sqrt{2}&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}^nP^{-1}\\ &=\begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&\sqrt{2}&-\sqrt{2}\\ -1&1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\sqrt{2}&0&0\\ 0&2\sqrt{2}&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}^{n} \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&\sqrt{2}&-\sqrt{2}\\ -1&1&1 \end{bmatrix}^{-1}\\ &=\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&\sqrt{2}&-\sqrt{2}\\ -1&1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (-\sqrt{2})^n&0&0\\ 0&(2\sqrt{2})^n&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&0&-2\\ 1&\sqrt{2}&1\\ 1&-\sqrt{2}&1 \end{bmatrix}\\ & = \frac{\sqrt{2}^n}{4} \begin{bmatrix} 2(-1)^n+2^n&\sqrt{2}\cdot2^n&(-1)^{n+1}2+2^n\\ 2^n\sqrt{2}&2^{n+1}&2^n\sqrt{2}\\ (-1)^{n+1}2+2^n&\sqrt{2}\cdot 2^n&(-1)^n2+2^n \end{bmatrix} \end{aligned}$