理论上的证明我这里就暂时不写了(懒),直接上结论和例题,理论证明等以后在补充吧。(果断挖坑)
定理:
对于 nnn 阶矩阵 AAA ,存在一个可逆矩阵 PPP,使得 P−1APP^{-1}APP−1AP 是一个对角矩阵的充要条件是,AAA 有 nnn 个线性无关的特征向量。
设 AAA 的特征向量为 ε1,ε2,⋯ ,εn\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_nε1,ε2,⋯,εn 对应的特征值为 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn。取 P=[ε1,ε2,⋯ ,εn]P=[\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n]P=[ε1,ε2,⋯,εn] 则 P−1APP^{-1}APP−1AP 是一个对角矩阵,对角线上的元素为 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn
光说定理也太乏味了,来个例题加深一下理解吧
例题
设
A=[012121210]A=\begin{bmatrix} 0&1&\sqrt{2}\\ 1&\sqrt{2}&1\\ \sqrt{2}&1&0\end{bmatrix}A=⎣⎡012121210⎦⎤
- 求 AAA 的特征值和特征向量
- 找到一个可逆矩阵 PPP,使得 P−1APP^{-1}APP−1AP 是一个对角矩阵
- 求 AnA^nAn 的表达式
参考答案
∣λE−A∣=λ(λ+2)(λ−22)=0|\lambda E-A| = \lambda(\lambda+\sqrt{2})(\lambda-2\sqrt{2})=0∣λE−A∣=λ(λ+2)(λ−22)=0
得到 AAA 的特征值为
λ1=−2,λ2=22,λ3=0\lambda_1=-\sqrt{2},\lambda_2=2\sqrt{2},\lambda_3=0λ1=−2,λ2=22,λ3=0
对于特征值 λ1=−2\lambda_1=-\sqrt{2}λ1=−2,有特征向量 ε1=(1,0,−1)T\varepsilon_1=(1,0,-1)^{T}ε1=(1,0,−1)T
对于特征值 λ2=22\lambda_2=2\sqrt{2}λ2=22,有特征向量 ε2=(1,2,1)T\varepsilon_2=(1,\sqrt{2},1)^{T}ε2=(1,2,1)T
对于特征值 λ3=0\lambda_3=0λ3=0,有特征向量 ε3=(1,−2,1)T\varepsilon_3=(1,-\sqrt{2},1)^{T}ε3=(1,−2,1)T
-
令:
P=[ε1,ε2,ε3]=[11102−2−111]P =[\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3]= \begin{bmatrix} 1 & 1 &1\\ 0 & \sqrt{2} &-\sqrt{2}\\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}P=[ε1,ε2,ε3]=⎣⎡10−11211−21⎦⎤
根据前文提到的定理
P−1AP=[−2000220000]P^{-1}AP = \begin{bmatrix} -\sqrt{2}&0&0\\ 0&2\sqrt{2}&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}P−1AP=⎣⎡−2000220000⎦⎤
An=P[−2000220000]nP−1=[11102−2−111][−2000220000]n[11102−2−111]−1=14[11102−2−111][(−2)n000(22)n0000][20−21211−21]=2n4[2(−1)n+2n2⋅2n(−1)n+12+2n2n22n+12n2(−1)n+12+2n2⋅2n(−1)n2+2n]\begin{aligned}A^n &= P\begin{bmatrix} -\sqrt{2}&0&0\\ 0&2\sqrt{2}&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}^nP^{-1}\\ &=\begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&\sqrt{2}&-\sqrt{2}\\ -1&1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\sqrt{2}&0&0\\ 0&2\sqrt{2}&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}^{n} \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&\sqrt{2}&-\sqrt{2}\\ -1&1&1 \end{bmatrix}^{-1}\\ &=\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&\sqrt{2}&-\sqrt{2}\\ -1&1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (-\sqrt{2})^n&0&0\\ 0&(2\sqrt{2})^n&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&0&-2\\ 1&\sqrt{2}&1\\ 1&-\sqrt{2}&1 \end{bmatrix}\\ & = \frac{\sqrt{2}^n}{4} \begin{bmatrix} 2(-1)^n+2^n&\sqrt{2}\cdot2^n&(-1)^{n+1}2+2^n\\ 2^n\sqrt{2}&2^{n+1}&2^n\sqrt{2}\\ (-1)^{n+1}2+2^n&\sqrt{2}\cdot 2^n&(-1)^n2+2^n \end{bmatrix} \end{aligned}An=P⎣⎡−2000220000⎦⎤nP−1=⎣⎡10−11211−21⎦⎤⎣⎡−2000220000⎦⎤n⎣⎡10−11211−21⎦⎤−1=41⎣⎡10−11211−21⎦⎤⎣⎡(−2)n000(22)n0000⎦⎤⎣⎡21102−2−211⎦⎤=42n⎣⎡2(−1)n+2n2n2(−1)n+12+2n2⋅2n2n+12⋅2n(−1)n+12+2n2n2(−1)n2+2n⎦⎤
2021年11月25日21:40:16