相似矩阵对角化 | 找到一个可逆矩阵 P 使得 P^(-1)AP 成为一个对角矩阵

理论上的证明我这里就暂时不写了（懒），直接上结论和例题，理论证明等以后在补充吧。（果断挖坑）

定理：

对于 $n$ 阶矩阵 $A$ ，存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 是一个对角矩阵的充要条件是，$A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

设 $A$ 的特征向量为 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$ 对应的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$。取 $P=[{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n]$ 则 $P^{-1}AP$ 是一个对角矩阵，对角线上的元素为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$

光说定理也太乏味了，来个例题加深一下理解吧

例题

设

$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& \sqrt{2}\\ 1& \sqrt{2}& 1\\ \sqrt{2}& 1& 0\end{array}\right]$$

1. 求 $A$ 的特征值和特征向量
2. 找到一个可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 是一个对角矩阵
3. 求 $A^n$ 的表达式

---

参考答案

$$|\lambda E-A|=\lambda (\lambda +\sqrt{2})(\lambda -2\sqrt{2<}$$