不动点迭代法的收敛阶

定义:

设迭代过程 xk+1=φ(xk)x_{k+1}=\varphi(x_k)xk+1=φ(xk) 收敛于方程 x=φ(x)x=\varphi(x)x=φ(x) 的根 x∗x^*x,如果当 k→∞k\to\inftyk 时迭代误差 ek=xk−x∗e_k=x_k-x^*ek=xkx 满足渐进关系式

ek+1ekp→C,常数C≠0,\frac{e_{k+1}}{e^p_k}\to C,\quad\text{常数} C\neq0,ekpek+1C,常数C=0,

则称该迭代过程是 ppp 阶收敛的.特别的,p=1(∣C∣<1)p=1(|C|<1)p=1(C<1) 时称为线性收敛,p>1p>1p>1 时称为超线性收敛,p=2p=2p=2 时称为平方收敛.

定理:

对于迭代过程 xk+1=φ(xk)x_{k+1}=\varphi(x_k)xk+1=φ(xk) 及正整数 ppp,如果 φ(p)(x)\varphi^{(p)}(x)φ(p)(x) 在所求根 x∗x^*x 的邻近连续,并且

φ′(x∗)=φ′′(x∗)=⋯=φ(p−1)(x∗)=0φ(p)(x∗)≠0\begin{aligned} &\varphi'(x^*)=\varphi''(x^*)=\cdots=\varphi^{(p-1)}(x^*)=0\\ &\varphi^{(p)}(x^*)\neq 0 \end{aligned}φ(x)=φ(x)==φ(p1)(x)=0φ(p)(x)=0

则该迭代过程在点 x∗x^*x 附近是 ppp 阶收敛的。


2022年1月12日20:00:24

评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值