定义:
设迭代过程 xk+1=φ(xk)x_{k+1}=\varphi(x_k)xk+1=φ(xk) 收敛于方程 x=φ(x)x=\varphi(x)x=φ(x) 的根 x∗x^*x∗,如果当 k→∞k\to\inftyk→∞ 时迭代误差 ek=xk−x∗e_k=x_k-x^*ek=xk−x∗ 满足渐进关系式
ek+1ekp→C,常数C≠0,\frac{e_{k+1}}{e^p_k}\to C,\quad\text{常数} C\neq0,ekpek+1→C,常数C=0,
则称该迭代过程是 ppp 阶收敛的.特别的,p=1(∣C∣<1)p=1(|C|<1)p=1(∣C∣<1) 时称为线性收敛,p>1p>1p>1 时称为超线性收敛,p=2p=2p=2 时称为平方收敛.
定理:
对于迭代过程 xk+1=φ(xk)x_{k+1}=\varphi(x_k)xk+1=φ(xk) 及正整数 ppp,如果 φ(p)(x)\varphi^{(p)}(x)φ(p)(x) 在所求根 x∗x^*x∗ 的邻近连续,并且
φ′(x∗)=φ′′(x∗)=⋯=φ(p−1)(x∗)=0φ(p)(x∗)≠0\begin{aligned} &\varphi'(x^*)=\varphi''(x^*)=\cdots=\varphi^{(p-1)}(x^*)=0\\ &\varphi^{(p)}(x^*)\neq 0 \end{aligned}φ′(x∗)=φ′′(x∗)=⋯=φ(p−1)(x∗)=0φ(p)(x∗)=0
则该迭代过程在点 x∗x^*x∗ 附近是 ppp 阶收敛的。
2022年1月12日20:00:24