频域卷积定理的证明乘积的傅里叶变换等于分别做傅里叶变换的卷积乘1/2pi

本文详细介绍了傅里叶变换的基本概念及其逆变换，并深入探讨了卷积定理，该定理阐述了两个函数乘积的傅里叶变换与其各自傅里叶变换的卷积之间的关系。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

符号说明：

符号	说明
$f~=F[f]\tilde{f}=F[f]$	$f$ 的傅里叶变换为 $f~\tilde{f}$
$f=F−1[f~]f=F^{-1}[\tilde{f}]$	$f~\tilde{f}$ 的傅里叶逆变换为 $f$

定理：

$f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 乘积的傅里叶变换等于 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 的傅里叶变换的乘积的卷积乘 $12π\frac{1}{2\pi}$ ，即

$F[f1⋅f2]=12πF[f1]∗F[f2]F[f_1·f_2]=\frac{1}{2\pi}F[f_1]*F[f_2]$

证明:

设 $F1(ω)=F[f1(t)],F2(ω)=F[f2(t)],IFF_{1}(\omega)=\mathcal{F}\left[f_{1}(t)\right], F_{2}(\omega)=\mathcal{F}\left[f_{2}(t)\right], \quad I \mathcal{F}$ 表示傅里叶逆变换, 则
$\begin{aligned} F^{-1}\left[F_{1}(\omega) * F_{2}(\omega)\right]&=F^{-1}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} F_{1}(\mu) F_{2}(\omega-\mu) \rm{d} \mu\right]\\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} F_{1}(\mu) F_{2}(\omega-\mu) d \mu\right] e^{i \omega t} \rm{d} \omega\\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} F_{1}(\mu) F_{2}(\omega-\mu) e^{i \mu t} e^{i(\omega-\mu) t} d \omega\right] \rm{d} \mu\\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F_{1}(\mu) e^{i \mu t}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} F_{2}(\omega-\mu) e^{i(\omega-\mu) t} d(\omega-\mu)\right] \rm{d} \mu\\ &=f_{2}(t) \int_{-\infty}^{+\infty} F_{1}(\mu) e^{i \mu t} \rm{d} \mu\\ &=2 \pi f_{1}(t) f_{2}(t) \end{aligned}$