常用概率分布及其数学期望和方差

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本文详细介绍了各种概率分布，包括0-1分布、二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分布、负二项分布、正态分布、均匀分布、指数分布、伽马分布、X2分布、贝塔分布、对数正态分布和柯西分布。同时，总结了各分布的期望和方差等统计参数，为理解和应用这些分布提供了基础。

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分布分布列 pkp_kpk​ 或分布密度 p(x)p(x)p(x)期望方差
0−10-10−1 分布pk=pk(1−p)1−k,k=0,1p_k=p^k(1-p)^{1-k},\quad k=0,1pk​=pk(1−p)1−k,k=0,1pppp(1−p)p(1-p)p(1−p)
二项分布 b(n,p)b(n,p)b(n,p)pk=(nk)pk(1−p)n−k,k=0,1,⋯p_k=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\cdotspk​=(kn​)pk(1−p)n−k,k=0,1,⋯npnpnpnp(1−p)np(1-p)np(1−p)
泊松分布 P(λ)P(\lambda)P(λ)pk=λkk!e−λ,k=0,1,⋯p_k=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0,1,\cdotspk​=k!λk​e−λ,k=0,1,⋯λ\lambdaλλ\lambdaλ
超几何分布 h(n,N,M)h(n,N,M)h(n,N,M)pk=(Mk)(N−Mn−k)(Nn),k=0,1,⋯ ,r,r=min⁡(M,n)p_k=\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}},\quad k=0,1,\cdots,r,r=\min{(M,n)}pk​=(nN​)(kM​)(n−kN−M​)​,k=0,1,⋯,r,r=min(M,n)nMNn\frac{M}{N}nNM​nM(N−M)(N−n)N2(N−1)\frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}N2(N−1)nM(N−M)(N−n)​
几何分布 Ge(p)Ge(p)Ge(p)pk=(1−p)k−1p,k=1,2,⋯p_k=(1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,\cdotspk​=(1−p)k−1p,k=1,2,⋯1p\frac{1}{p}p1​1−pp2\frac{1-p}{p^2}p21−p​
负二项分布 Nb(r,p)Nb(r,p)Nb(r,p)pk=(k−1r−1)(1−p)k−rpr,k=r,r+1,⋯p_k=\binom{k-1}{r-1}(1-p)^{k-r}p^r,\quad k=r,r+1,\cdotspk​=(r−1k−1​)(1−p)k−rpr,k=r,r+1,⋯rp\frac{r}{p}pr​r(1−p)p2\frac{r(1-p)}{p^2}p2r(1−p)​
正态分布 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)N(μ,σ2)p(x)12πσexp⁡{−(x−μ)22σ2},−∞<x<+∞p(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\},\quad -\infin <x<+\infinp(x)2π​σ1​exp{−2σ2(x−μ)2​},−∞<x<+∞μ\muμσ2\sigma^2σ2
均匀分布 U(a,b)U(a,b)U(a,b)p(x)=1b−a,a<x<bp(x)=\frac{1}{b-a},\quad a<x<bp(x)=b−a1​,a<x<ba+b2\frac{a+b}{2}2a+b​(b−a)212\frac{(b-a)^2}{12}12(b−a)2​
指数分布 Exp(λ)Exp(\lambda)Exp(λ)p(x)=λe−λx,x⩾0p(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\geqslant 0p(x)=λe−λx,x⩾01λ\frac{1}{\lambda}λ1​1λ2\frac{1}{\lambda^2}λ21​
伽马分布 Ga(α,λ)Ga(\alpha,\lambda)Ga(α,λ)p(x)=λαΓ(α)xα−1e−λx,x⩾0p(x)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x},\quad x\geqslant 0p(x)=Γ(α)λα​xα−1e−λx,x⩾0αλ\frac{\alpha}{\lambda}λα​αλ2\frac{\alpha}{\lambda^2}λ2α​
X2(n)\mathcal{X}^2(n)X2(n)分布p(x)=xn/2−1e−x/2Γ(n/2)2n/2,x⩾0p(x)=\frac{x^{n/2-1}e^{-x/2}}{\Gamma(n/2)2^{n/2}},\quad x\geqslant 0p(x)=Γ(n/2)2n/2xn/2−1e−x/2​,x⩾0nnn2n2n2n
贝塔分布 Be(a,b)Be(a,b)Be(a,b)p(x)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)xα−1(1−x)b−1,0<x<1p(x)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{\alpha-1}(1-x)^{b-1},\quad 0<x<1p(x)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)​xα−1(1−x)b−1,0<x<1aa+b\frac{a}{a+b}a+ba​ab(a+b)2(a+b+1)\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}(a+b)2(a+b+1)ab​
对数正态分布 LN(μ,σ2)LN(\mu,\sigma^2)LN(μ,σ2)p(x)=12πσxexp⁡{−(ln⁡x−μ)22σ2},x>0p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}\exp\left\{-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\},x>0p(x)=2π​σx1​exp{−2σ2(lnx−μ)2​},x>0eμ+σ2/2e^{\mu+\sigma^2/2}eμ+σ2/2e2μ+σ2(eσ2−1)e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)e2μ+σ2(eσ2−1)
柯西分布 Cau(μ,λ)Cau(\mu,\lambda)Cau(μ,λ)p(x)=1πλλ2+(x−μ)2,−∞<x<+∞p(x)=\frac{1}{\pi}\frac{\lambda}{\lambda^2+(x-\mu)^2},\quad -\infty<x<+\inftyp(x)=π1​λ2+(x−μ)2λ​,−∞<x<+∞不存在不存在
韦布尔分布p(x)=F′(x),F(x)=1−exp⁡{−(xη)m},x>0p(x)=F'(x),F(x)=1-\exp\left\{-(\frac{x}{\eta})^m\right\},x>0p(x)=F′(x),F(x)=1−exp{−(ηx​)m},x>0ηΓ(1+1m)\eta\Gamma\left(1+\frac{1}{m}\right)ηΓ(1+m1​)η2[Γ(1+2m)−Γ2(1+1m)]\eta^2\left[\Gamma\left(1+\frac{2}{m}\right)-\Gamma^2\left(1+\frac{1}{m}\right)\right]η2[Γ(1+m2​)−Γ2(1+m1​)]


                

分布	分布列 $p_k$ 或分布密度 $p (x)$	期望	方差
$0 - 1$ 分布	$pk=pk(1−p)1−k,k=0,1p_k=p^k(1-p)^{1-k},\quad k=0,1$	$p$	$p (1 - p)$
二项分布 $b (n, p)$	$pk=(nk)pk(1−p)n−k,k=0,1,⋯p_k=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\cdots$	$n p$	$n p (1 - p)$
泊松分布 $P(λ)P(\lambda)$	$pk=λkk!e−λ,k=0,1,⋯p_k=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0,1,\cdots$	$λ\lambda$	$λ\lambda$
超几何分布 $h (n, N, M)$	$,r,r=min⁡(M,n)p_k=\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}},\quad k=0,1,\cdots,r,r=\min{(M,n)}$	$nMNn\frac{M}{N}$	$nM(N−M)(N−n)N2(N−1)\frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$
几何分布 $G e (p)$	$pk=(1−p)k−1p,k=1,2,⋯p_k=(1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,\cdots$	$1p\frac{1}{p}$	$1−pp2\frac{1-p}{p^2}$
负二项分布 $N b (r, p)$	$pk=(k−1r−1)(1−p)k−rpr,k=r,r+1,⋯p_k=\binom{k-1}{r-1}(1-p)^{k-r}p^r,\quad k=r,r+1,\cdots$	$rp\frac{r}{p}$	$r(1−p)p2\frac{r(1-p)}{p^2}$
正态分布 $N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)$	$p(x)12πσexp⁡{−(x−μ)22σ2},−∞<x<+∞p(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\},\quad -\infin <x<+\infin$	$μ\mu$	$σ2\sigma^2$
均匀分布 $U (a, b)$	$p(x)=1b−a,a<x<bp(x)=\frac{1}{b-a},\quad a<x<b$	$a+b2\frac{a+b}{2}$	$(b−a)212\frac{(b-a)^2}{12}$
指数分布 $Exp(λ)Exp(\lambda)$	$p(x)=λe−λx,x⩾0p(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\geqslant 0$	$1λ\frac{1}{\lambda}$	$1λ2\frac{1}{\lambda^2}$
伽马分布 $Ga(α,λ)Ga(\alpha,\lambda)$	$p(x)=λαΓ(α)xα−1e−λx,x⩾0p(x)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x},\quad x\geqslant 0$	$αλ\frac{\alpha}{\lambda}$	$αλ2\frac{\alpha}{\lambda^2}$
$X2(n)\mathcal{X}^2(n)$ 分布	$p(x)=xn/2−1e−x/2Γ(n/2)2n/2,x⩾0p(x)=\frac{x^{n/2-1}e^{-x/2}}{\Gamma(n/2)2^{n/2}},\quad x\geqslant 0$	$n$	$2 n$
贝塔分布 $B e (a, b)$	$p(x)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)xα−1(1−x)b−1,0<x<1p(x)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{\alpha-1}(1-x)^{b-1},\quad 0<x<1$	$aa+b\frac{a}{a+b}$	$ab(a+b)2(a+b+1)\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}$
对数正态分布 $LN(μ,σ2)LN(\mu,\sigma^2)$	$p(x)=12πσxexp⁡{−(ln⁡x−μ)22σ2},x>0p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}\exp\left\{-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\},x>0$	$eμ+σ2/2e^{\mu+\sigma^2/2}$	$e2μ+σ2(eσ2−1)e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)$
柯西分布 $Cau(μ,λ)Cau(\mu,\lambda)$	$p(x)=1πλλ2+(x−μ)2,−∞<x<+∞p(x)=\frac{1}{\pi}\frac{\lambda}{\lambda^2+(x-\mu)^2},\quad -\infty<x<+\infty$	不存在	不存在
韦布尔分布	$p(x)=F′(x),F(x)=1−exp⁡{−(xη)m},x>0p(x)=F'(x),F(x)=1-\exp\left\{-(\frac{x}{\eta})^m\right\},x>0$	$ηΓ(1+1m)\eta\Gamma\left(1+\frac{1}{m}\right)$	$η2[Γ(1+2m)−Γ2(1+1m)]\eta^2\left[\Gamma\left(1+\frac{2}{m}\right)-\Gamma^2\left(1+\frac{1}{m}\right)\right]$