常用概率分布及其数学期望和方差

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抓住一只白嫖怪(｀・ω・´)

本文详细介绍了各种概率分布，包括0-1分布、二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分布、负二项分布、正态分布、均匀分布、指数分布、伽马分布、X2分布、贝塔分布、对数正态分布和柯西分布。同时，总结了各分布的期望和方差等统计参数，为理解和应用这些分布提供了基础。

                    
   分布 
   分布列 pkp_kpk​ 或分布密度 p(x)p(x)p(x) 
   期望 
   方差 
  
   0−10-10−1 分布 
   pk=pk(1−p)1−k,k=0,1p_k=p^k(1-p)^{1-k},\quad k=0,1pk​=pk(1−p)1−k,k=0,1 
   ppp 
   p(1−p)p(1-p)p(1−p) 
  
   二项分布 b(n,p)b(n,p)b(n,p) 
   pk=(nk)pk(1−p)n−k,k=0,1,⋯p_k=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\cdotspk​=(kn​)pk(1−p)n−k,k=0,1,⋯ 
   npnpnp 
   np(1−p)np(1-p)np(1−p) 
  
   泊松分布 P(λ)P(\lambda)P(λ) 
   pk=λkk!e−λ,k=0,1,⋯p_k=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0,1,\cdotspk​=k!λk​e−λ,k=0,1,⋯ 
   λ\lambdaλ 
   λ\lambdaλ 
  
   超几何分布 h(n,N,M)h(n,N,M)h(n,N,M) 
   pk=(Mk)(N−Mn−k)(Nn),k=0,1,⋯ ,r,r=min⁡(M,n)p_k=\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}},\quad k=0,1,\cdots,r,r=\min{(M,n)}pk​=(nN​)(kM​)(n−k

分布	分布列 $p_k$ 或分布密度 $p (x)$	期望	方差
$0 - 1$ 分布	$pk=pk(1−p)1−k,k=0,1p_k=p^k(1-p)^{1-k},\quad k=0,1$	$p$	$p (1 - p)$
二项分布 $b (n, p)$	$pk=(nk)pk(1−p)n−k,k=0,1,⋯p_k=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\cdots$	$n p$	$n p (1 - p)$
泊松分布 $P(λ)P(\lambda)$	$pk=λkk!e−λ,k=0,1,⋯p_k=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0,1,\cdots$	$λ\lambda$	$λ\lambda$
超几何分布 $h (n, N, M)$	$,r,r=min⁡(M,n)p_k=\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}},\quad k=0,1,\cdots,r,r=\min{(M,n)}$