几何分布的期望和方差公式推导_常用概率分布总结(1)

老是记不住各种分布及其意义，每次用时，回查各个课本资料也很麻烦，一些分布的重要性质也是各处散布，经常找不到，故这里做个总结，当作个资料卡用。

内容有各种常见概率分布，一般会写含义、密度函数形式、期望、方差、特征函数，其它性质感觉重要就添加（有趣但感觉没什么用的不会添加）。

先介绍下在R中的使用随机数，密度函数，分布函数，分位函数的命令，使用正态分布为示例。以下不做说明均是使用 R 语言。

• 随机数

从服从某种分布的总体中抽出样本

> rnorm(5)
[1]  0.2858567 -0.7578348  0.6322224  0.6289619 -0.6743083

• 概率密度函数(probability density function pdf)

分布的概率密度函数值

。有时直接称密度函数。

> dnorm(0)
[1] 0.3989423
> dnorm(3.2)
[1] 0.002384088

使用这个函数就可以画出概率密度函数图，

x = seq(-5,5,by=0.01)
y = dnorm(x)
plot(x,y)

• 累积分布函数(cumulative distribution function cdf)

含义为对pdf的积分函数

。有时直接称分布函数。

> pnorm(0)
[1] 0.5
> pnorm(1.3)
[1] 0.9031995
> pnorm(3.6)
[1] 0.9998409

• 分位函数

cdf的反函数，从pdf理解更简单，pdf下方总的面积为1，q(0.9)表示从

到值q(0.9)处，累积概率为0.9。显然这个函数一个用处是计算否定域

> qnorm(0.5)
[1] 0
> qnorm(0.9031)
[1] 1.29942

> qnorm(0.025)    #显著性水平为0.05，拒绝域(-1.95,1.95)
[1] -1.959964

用随机数理解，如果随机抽取，90%的数在

到值q(0.9)之间，

> qnorm(0.9)
[1] 1.281552

> sum(rnorm(1e5)<1.281552)/1e5
[1] 0.90048

1.退化分布；2.伯努利分布；3.Categorical 分布；4.二项分布；5.多项分布；6.中餐馆分布

7.泊松分布；8.几何分布；9.超几何分布；10.负二项分布（又称巴斯卡分布)；11.正态分布；

12.均匀分布；13.指数分布；14.卡方分布；15.t分布；16.F分布；17.柯西分布；

18.Gamma分布；19.beta分布；20.对数正态分布；21.Weibull分布；22.逻辑分布；23.狄利克雷分布；

1.退化分布(degenerate distribution)

[1]基本

• 密度函数

随机变量值只取常数

。事实上它并不随机，但把它看作随机变量的退化情况，因此称为退化分布。

• 期望

• 方差

• 特征函数

[2]重要性质

2.伯努利分布

[1]基本

随机变量只取0或1，表示事件不发生或发生，也可以说是事件发生0次或发生1次

• 密度函数

为随机变量，

为该分布的参数。

• 期望

• 方差

• 特征函数

[2]重要性质

3.Categorical分布

[1]基本

伯努利分布为一次只有两种可能结果{0,1}的试验，Categorical 分布可以有多种可能{1,2,...,K}。

• 密度函数

• 期望

• 方差

• 特征函数