概率论 基本概率模型、分布、期望和方差

这段时间校招，发现很多笔试都是概率论的题目，拿出课本写下来总结（不涉及组合和数理统计）。

基本概念

等可能概型（古典概型）

特点

• 试验的样本空间只包含有限个元素；
• 试验中每个基本事件发生的可能性相同。

公式

设试验的样本空间为S=$\{e_1,e_2,e_3,\dots ,e_n\}$，若事件A包含k个基本事件，即A=$\{e_{i_1}\}\bigcup\{e_{i_1}\}\bigcup\dots\{e_{i_k}\}$，这里$i_1,i_2,\dots,i_k$是$1,2,\dots,n$中k个不同的数。则有：

$$P(A)=\sum_{j=1}^k P(\{e_{i_j}\})=\frac{k}{n}=\frac{A包含的基本事件数}{S中基本事件的总数}$$

例题

• 将一枚硬币抛掷三次，恰有一次出现正面的概率；
• 袋子里装小球，放回抽样和不放回抽样；

• n个人中至少有两人生日相同的概率。

  假设每人的生日在一年365天中任一天是等可能的，即$\frac{1}{365}$，则随机选取n个人，生日各不相同的概率是：
  

  $$\frac{365\bullet365\bullet\dots\bullet(365-n+1)}{365^n}$$
  所以n个人至少两人生日相同的概率是：
  $$p=1-\frac{365\bullet365\bullet\dots\bullet(365-n+1)}{365^n}$$

n	20	23	30	40	50	60	100
p	0.411	0.507	0.706	0.891	0.970	0.997	0.999 999 7

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条件概率

条件概率定义

设A，B是两个事件，且P(A)>0，称

$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$ 为在事件A发生的条件下，事件B发生的 条件概率。

乘法定理

设P(A)>0，则有

$$P(AB)=P(B|A)P(A)$$

全概率公式

设试验E的样本空间为S，A为E的事件， B1,