题目：
绝对柔软而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂的平衡位置，试导出此线的微小横振动方程.
参考答案：
解： 设弦长为 l,l,l, 取弦上端点为原点，取铅垂向下的轴为 xxx 轴. 设 u(x,t)u(x, t)u(x,t) 为 时刻 t,xt, xt,x 处的横向位移. 取位于 (x,x+Δx)(x, x+\Delta x)(x,x+Δx) 的微元进行分析，由绝对柔软的假设，弦的张力 TTT 的方向总是沿弦的切线方向. 又由微小振动的假设 ux≪1.u_{x} \ll 1 .ux≪1. 因此认为弦在振动过程中不伸长，且张力 TTT 与时间无关. 考察受力平衡 (α1,α2\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right.(α1,α2 为张力 TTT 的方向与竖直线的夹角）
T(x+Δx)cosα2−T(x)cosα1=−ρgΔx(1.1)T(x+Δx)sinα2−T(x)sinα1=ρΔxutt(1.2)
\begin{aligned}
T(x+\Delta x) \cos \alpha_{2}-T(x) \cos \alpha_{1}&=-\rho g \Delta x \qquad{(1.1)}\\
T(x+\Delta x) \sin \alpha_{2}-T(x) \sin \alpha_{1}&=\rho \Delta x u_{t t} \qquad{(1.2)}
\end{aligned}
T(x+Δx)cosα2−T(x)cosα1T(x+Δx)sinα2−T(x)sinα1=−ρgΔx(1.1)=ρΔxutt(1.2)
其中 (1.1)(1.1)(1.1) 为竖直方向上两个拉力的合力等于重力的反作用力，
(1.2)(1.2)(1.2) 是水平方向的合力等于加速度 uttu_{tt}utt 乘 质量 ρΔx\rho \Delta xρΔx。
由 (1.1) 知
dT dx=−ρg⇒T=−ρgx+C
\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} x}=-\rho g \quad \Rightarrow \quad T=-\rho g x+C
dxdT=−ρg⇒T=−ρgx+C
而 x=0x=0x=0 时, T(0)=ρgl,T(0)=\rho g l,T(0)=ρgl, 知 C=ρgl,C=\rho g l,C=ρgl, 所以
T(x)=ρg(l−x)
T(x)=\rho g(l-x)
T(x)=ρg(l−x)
又
sinα2≈tanα2=∂u∂x(x+Δx,t)sinα1≈tanα1=∂u∂x(x,t)
\begin{array}{c}
\sin \alpha_{2} \approx \tan \alpha_{2}=\frac{\partial u}{\partial x}(x+\Delta x, t) \\
\sin \alpha_{1} \approx \tan \alpha_{1}=\frac{\partial u}{\partial x}(x, t)
\end{array}
sinα2≈tanα2=∂x∂u(x+Δx,t)sinα1≈tanα1=∂x∂u(x,t)
由 (1.2) 知
∂∂x[T(x)∂u(x)∂x]=ρ∂2u∂t2⇒∂2u∂t2=g∂∂x[(l−x)∂u∂x]
\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial x}\left[T(x) \frac{\partial u(x)}{\partial x}\right]=\rho \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} \\
\Rightarrow \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=g \frac{\partial}{\partial x}\left[(l-x) \frac{\partial u}{\partial x}\right]
\end{array}
∂x∂[T(x)∂x∂u(x)]=ρ∂t2∂2u⇒∂t2∂2u=g∂x∂[(l−x)∂x∂u]
2021年3月22日19:11:17
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