一些Euclid空间上的定义

设 $S$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 上的点集，它在 ${\mathbf{R}}^n$ 上的补集 ${\mathbf{R}}^n\backslash S$ 记为 $S^c$.

内点：
存在 $\mathbf{x}$ 的一个 $\delta$ 领域 $O(\mathbf{x},\delta )$ 完全落在 $S$ 中.

内部：
$S$ 的内点全体称为 $S$ 的内部.记为 $S^o$.

外点：
存在 $\mathbf{x}$ 的一个 $\delta$ 领域 $O(\mathbf{x}.\delta )$ 完全不落在 $S$ 中.

边界点：
$\mathbf{x}$ 的任意 $\delta$ 领域既包含 $S$ 中的点，又包含不属于 $S$ 的点.

边界：
$S$ 的边界点的全体称为 $S$ 的边界，记为 $\partial S$

孤立点：
存在 $\mathbf{x}$ 的一个领域，其中只有 $\mathbf{x}$ 点属于 $S$，则称 $\mathbf{x}$ 是 $S$ 的孤立点

聚点：
$\mathbf{x}$ 的任意领域内都含有 $S$ 中的无限个点，则称 $\mathbf{x}$ 是 $S$ 的聚点.$S$ 的聚点的全体记为 $S^{\prime }$.

开集：
$S$ 中的每一个点都是它的内点.

闭集：
$S$ 中包含了它的所有的聚点.

闭包：
$S$ 与它的聚点全体 $S^{\prime }$ 的并集，记为 $\bar{S}$.即 $S\cup S^{\prime }=\bar{S}$

---

1. 内点必属于 $S$,外点必不属于 $S$,边界点可能属于 $S$,也可能不属于 $S$
2. 孤立点必是边界点
3. 内点必是聚点
4. 边界点如果不是孤立点，也必是聚点
5. 聚点可能属于 $S$ 也可能不属于 $S$

---

2021年3月21日20:01:06