每日一题/007/级数/设a_n=1-1/2+1/3- ... + (-1)^(n-1)*1/n,求 lim_{n\to\infty}a

题目：
设

$an=1−12+13−⋯+(−1)(n−1)1na_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}- \cdots + (-1)^{(n-1)}\frac{1}{n}$

求

$lim⁡n→∞an\lim_{n\to\infty}a_n$

参考答案：

解法一：
根据泰勒公式：

$ln⁡(1+x)=x−12x2+13x3−⋯+(−1)n+11nxn+⋯(1)\begin{aligned} \ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\cdots+(-1)^{n+1}\frac{1}{n}x^n+\cdots\end{aligned}\tag{1}$

令 (1) 中 $x = 1$ ,即可得到

$ln⁡2=1−12+13−⋯+(−1)n+11n+⋯=lim⁡n→∞an\begin{aligned}\ln2&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots+(-1)^{n+1}\frac{1}{n}+\cdots\\ &=\lim_{n\to\infty}a_n\end{aligned}$

注意，在 (1) 中，是把 $ln⁡(1+x)\ln(1+x)$ 展开了无穷次项。相当于已经取了极限，只不过这里的极限含义是用省略号表示而不是极限号表示

解法二：

注意：在取极限前， $a_n$ 为有限项求和

不妨假设 $n = 2 k$ （对于 $n$ 为奇数项的情况可用同样的方法得到，此处假设 $n = 2 k$ 是为了使表述简洁）

$项a_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}- \cdots + (-1)^{(n-1)}\frac{1}{n}\qquad\text{$a_n$ 有 $2k$ 项}$

设

$项b_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}\qquad\text{$b_n$ 有 $k$ 项}$

那么

$项\begin{aligned} c_n&=a_n+2b_n\\ &=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}\qquad\text{$c_n$ 有 $2k$ 项}\end{aligned}$

$项2b_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{k}\qquad\text{$2b_n$ 有 $k$ 项}$

所以

$lim⁡n→∞cn−ln⁡2k=γlim⁡n→∞2bn−ln⁡k=γ\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}c_n-\ln 2k=\gamma\\ \lim_{n\to\infty}2b_n-\ln k=\gamma\\ \end{aligned}$

这里的 $γ\gamma$ 指欧拉常数

$lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞cn−2bn=lim⁡n→∞(cn−ln⁡2k)−lim⁡n→∞(2bn−ln⁡2k)=lim⁡n→∞(cn−ln⁡2k)−lim⁡n→∞(2bn−ln⁡k−ln⁡2)=γ−γ+ln⁡2=ln⁡2\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}a_n=&\lim_{n\to\infty}c_n-2b_n\\ &=\lim_{n\to\infty}(c_n-\ln 2k)-\lim_{n\to\infty}(2b_n-\ln 2k)\\ &=\lim_{n\to\infty}(c_n-\ln 2k)-\lim_{n\to\infty}(2b_n-\ln k-\ln 2)\\ &=\gamma-\gamma+\ln 2\\ &=\ln 2 \end{aligned}$