每日一题/006/矩阵/设 n阶实对称矩阵 A满足 A^2=A,且 A 的秩为r,试求行列式 det(2E-A) 的值

题目：
设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 满足 $A^2=A$ ,且 $A$ 的秩为 $r$,试求行列式 $\det (2E-A)$ 的值

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参考答案：
对于 $A$ 的任一特征向量 $\alpha$,设其对应的特征值为 $\lambda$,则有：

$$\lambda \alpha =A\alpha =A^2\alpha ={\lambda }^2\alpha$$

所以，$\lambda =0$ 或 $\lambda =1$,即 $A$ 的特征值只能在 $0,1$ 中取得。

因为 $A$ 是实对称矩阵，所以存在可逆矩阵 $P$,使得

$$P^{-1}AP=\left[\begin{array}{cc}{E}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right]=B$$

其中 $E_r$ 为 $r$ 阶单位矩阵

从而

$$\begin{array}{rl}\det (2E-A)& =\det (2P{P}^{-1}-PB{P}^{-1})\\ & =\det (P2E{P}^{-1}-PB{P}^{-1})\\ & =\det (P(2E-B)P^{-1})\\ & =\det (2E-B)\\ & =\left[\begin{array}{cc}{E}_r& 0\\ 0& 2E_{n-r}\end{array}\right]\\ & =2^{n-r}\end{array}$$

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2021年1月2日21:51:36