题目：
设
A
n
×
n
A_{n\times n}
An×n 的顺序主子式均不为零，证明：存在下三角矩阵
B
n
×
n
B_{n\times n}
Bn×n，使
B
A
BA
BA 为上三角形.
参考答案：
证明：
当
n
=
1
n=1
n=1 时，结论显然成立
假设当
n
⩽
k
−
1
n\leqslant k-1
n⩽k−1 时，结论成立，那么当
n
=
k
n=k
n=k 时：
对
A
A
A 做分块，
A = [ A 11 A 12 A 21 A 22 ] A=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix} A=[A11A21A12A22]
其中 A 11 A_{11} A11 是一个 k − 1 k-1 k−1 阶矩阵， A 12 A_{12} A12 是一个 k − 1 k-1 k−1 维列向量， A 21 A_{21} A21 是一个 k − 1 k-1 k−1 维行向量， A 22 A_{22} A22 是一个 1 1 1 阶矩阵，即一个数。
考虑一个下三角矩阵
B
B
B ,对
B
B
B 做同样的分块.
B
=
[
B
11
O
B
21
B
22
]
B=\begin{bmatrix}B_{11}&O\\B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}
B=[B11B21OB22]
那么就有
B
A
=
[
B
11
A
11
B
11
A
12
B
21
A
11
+
B
22
A
21
B
21
A
12
+
B
22
A
22
]
BA=\begin{bmatrix}B_{11}A_{11}&B_{11}A_{12}\\B_{21}A_{11}+B_{22}A_{21}&B_{21}A_{12}+B_{22}A_{22}\end{bmatrix}
BA=[B11A11B21A11+B22A21B11A12B21A12+B22A22]
为了使
B
A
BA
BA 成为一个上三角矩阵，那么应当有：
{
B
11
A
11
=
M
B
21
A
11
+
B
22
A
21
=
0
\left\{\begin{aligned} &B_{11}A_{11}=M\\ &B_{21}A_{11}+B_{22}A_{21}=0 \end{aligned}\right.
{B11A11=MB21A11+B22A21=0
其中 M M M 是一个上三角矩阵
根据假设，存在一个 B 11 B_{11} B11 使得 B 11 A 11 B_{11}A_{11} B11A11 是一个上三角矩阵
取 B 22 = − 1 B_{22}=-1 B22=−1, B 21 = A 21 A 11 − 1 B_{21}=A_{21}A_{11}^{-1} B21=A21A11−1,找到了满足题意的 B B B，所以对于任意的 n n n,结论都成立。证毕
2021年1月2日18:41:32
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