每日一题/005/矩阵/数学归纳法/设A的顺序主子式均不为0.则有下三角矩阵B，使得BA是上三角矩阵，

题目：
设 $A_{n\times n}$ 的顺序主子式均不为零，证明：存在下三角矩阵 $B_{n\times n}$，使 $BA$ 为上三角形.

---

参考答案：
证明：
当 $n=1$ 时，结论显然成立
假设当 $n⩽k-1$ 时，结论成立，那么当 $n=k$ 时：
对 $A$ 做分块，

$$A=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right]$$

其中 $A_{11}$ 是一个 $k-1$ 阶矩阵，$A_{12}$ 是一个 $k-1$ 维列向量， $A_{21}$ 是一个 $k-1$ 维行向量，$A_{22}$ 是一个 $1$ 阶矩阵，即一个数。

考虑一个下三角矩阵 $B$ ,对 $B$ 做同样的分块.
$$B=\left[\begin{array}{cc}{B}_{11}& O\\ B_{21}& B_{22}\end{array}\right]$$

那么就有
$$BA=\left[\begin{array}{cc}{B}_{11}{A}_{11}& B_{11}{A}_{12}\\ B_{21}{A}_{11}+B_{22}{A}_{21}& B_{21}{A}_{12}+B_{22}{A}_{22}\end{array}\right]$$

为了使 $BA$ 成为一个上三角矩阵，那么应当有：
$$\{\begin{array}{rl}& B_{11}{A}_{11}=M\\ & B_{21}{A}_{11}+B_{22}{A}_{21}=0\end{array}$$

其中 $M$ 是一个上三角矩阵

根据假设，存在一个 $B_{11}$ 使得 $B_{11}{A}_{11}$ 是一个上三角矩阵

取 $B_{22}=-1$,$B_{21}=A_{21}{A}_{11}^{-1}$,找到了满足题意的 $B$，所以对于任意的 $n$,结论都成立。证毕

---

2021年1月2日18:41:32