2020-11-17 一道有趣的求极限问题

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抓住一只白嫖怪(｀・ω・´)

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博客给出一道极限运算题目，即求x趋近于2时，(x² - 4)/(x - 2) + √(x - 2)的极限。随后详细展示了解答过程，通过一系列化简计算得出该极限的值为1/2。

题目

$lim⁡x→2x−2+x−2x2−4\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}+\sqrt{x-2}}{\sqrt{x^2-4}}$

解答

$lim⁡x→2x−2+x−2x2−4=lim⁡x→2x−2+x−2x−2x+2=12lim⁡x→2x−2+x−2x−2=12(lim⁡x→2x−2x−2+1)=12lim⁡x→2(x−2)(x+2)x−2(x+2)+12=12lim⁡x→2(x−2)2x−2(x+2)+12=12lim⁡x→2x−2x+2+12=12\begin{aligned} \lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}+\sqrt{x-2}}{\sqrt{x^2-4}}&=\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}+\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2}\sqrt{x+2}}\\[8pt] &=\frac{1}{2}\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}+\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2}}\\[8pt] &=\frac{1}{2}(\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{\sqrt{x-2}}+1)\\[8pt] &=\frac{1}{2}\lim_{x\to 2}\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{\sqrt{x-2}(\sqrt{x}+\sqrt{2})}+\frac{1}{2}\\[8pt] &=\frac{1}{2}\lim_{x\to 2}\frac{(\sqrt{x-2})^2}{\sqrt{x-2}(\sqrt{x}+\sqrt{2})}+\frac{1}{2}\\[8pt] &=\frac{1}{2}\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\\[8pt] &=\frac{1}{2}\\[8pt] \end{aligned}$