一个求整系数多项式的全部有理根的方法

本文介绍了一项关于整系数多项式有理根的性质:若rs是多项式f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0的一个有理根,则s必定整除首项系数an,r必定整除常数项a0。特别是当首项系数为1时,所有有理根均为整数且为a0的因子。

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定理


f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0 f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 f(x)=anxn+an1xn1++a0
是一个整系数多项式,而 rs\frac{r}{s}sr 是它的一个有理根,其中 r,sr,sr,s 互素,那么必有 s∣an,r∣a0.s|a_n,r|a_0.san,ra0. 特别的,如果 f(x)f(x)f(x) 的首项系数 an=1a_n=1an=1 那么 f(x)f(x)f(x) 的有理根都是整根,而且是 a0a_0a0 的因子。

证明

因为 rs\frac{r}{s}srf(x)f(x)f(x) 的一个有理根.因此在有理数域上
(x−rs)∣f(x). (x-\frac{r}{s})|f(x). (xsr)f(x).
从而
(sx−r)∣f(x) (sx-r)|f(x) (sxr)f(x)
因为 r,sr,sr,s 互素,所以 sx−rsx-rsxr 是一个本原多项式.
f(x)=(sx−r)(bn−1xn−1+⋯+b0) f(x)=(sx-r)(b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0) f(x)=(sxr)(bn1xn1++b0)
式中 bn−1,⋯ ,b0b_{n-1},\cdots,b_0bn1,,b0 都是整数. 比较两边系数,即得
an=sbn−1,a0=−rb0 a_n=sb_{n-1},a_0=-rb_0 an=sbn1,a0=rb0
因此
s∣an,r∣a0 s|a_n,r|a_0 san,ra0


2021年7月1日23:09:21 有改动

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