本文介绍了一项关于整系数多项式有理根的性质：若rs是多项式f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0的一个有理根，则s必定整除首项系数an，r必定整除常数项a0。特别是当首项系数为1时，所有有理根均为整数且为a0的因子。
定理
设
f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0
f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0
是一个整系数多项式，而 rs\frac{r}{s}sr 是它的一个有理根，其中 r,sr,sr,s 互素，那么必有 s∣an,r∣a0.s|a_n,r|a_0.s∣an,r∣a0. 特别的，如果 f(x)f(x)f(x) 的首项系数 an=1a_n=1an=1 那么 f(x)f(x)f(x) 的有理根都是整根，而且是 a0a_0a0 的因子。
证明
因为 rs\frac{r}{s}sr 是 f(x)f(x)f(x) 的一个有理根.因此在有理数域上
(x−rs)∣f(x).
(x-\frac{r}{s})|f(x).
(x−sr)∣f(x).
从而
(sx−r)∣f(x)
(sx-r)|f(x)
(sx−r)∣f(x)
因为 r,sr,sr,s 互素，所以 sx−rsx-rsx−r 是一个本原多项式.
f(x)=(sx−r)(bn−1xn−1+⋯+b0)
f(x)=(sx-r)(b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0)
f(x)=(sx−r)(bn−1xn−1+⋯+b0)
式中 bn−1,⋯ ,b0b_{n-1},\cdots,b_0bn−1,⋯,b0 都是整数. 比较两边系数，即得
an=sbn−1,a0=−rb0
a_n=sb_{n-1},a_0=-rb_0
an=sbn−1,a0=−rb0
因此
s∣an,r∣a0
s|a_n,r|a_0
s∣an,r∣a0
2021年7月1日23:09:21 有改动
扫一扫
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
