本文介绍了一项关于整系数多项式有理根的性质：若rs是多项式f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0的一个有理根，则s必定整除首项系数an，r必定整除常数项a0。特别是当首项系数为1时，所有有理根均为整数且为a0的因子。
定理
设
f
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
0
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0
f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0
是一个整系数多项式，而
r
s
\frac{r}{s}
sr 是它的一个有理根，其中
r
,
s
r,s
r,s 互素，那么必有
s
∣
a
n
,
r
∣
a
0
.
s|a_n,r|a_0.
s∣an,r∣a0. 特别的，如果
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的首项系数
a
n
=
1
a_n=1
an=1 那么
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的有理根都是整根，而且是
a
0
a_0
a0 的因子。
证明
因为
r
s
\frac{r}{s}
sr 是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的一个有理根.因此在有理数域上
(
x
−
r
s
)
∣
f
(
x
)
.
(x-\frac{r}{s})|f(x).
(x−sr)∣f(x).
从而
(
s
x
−
r
)
∣
f
(
x
)
(sx-r)|f(x)
(sx−r)∣f(x)
因为
r
,
s
r,s
r,s 互素，所以
s
x
−
r
sx-r
sx−r 是一个本原多项式.
f
(
x
)
=
(
s
x
−
r
)
(
b
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
b
0
)
f(x)=(sx-r)(b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0)
f(x)=(sx−r)(bn−1xn−1+⋯+b0)
式中
b
n
−
1
,
⋯
,
b
0
b_{n-1},\cdots,b_0
bn−1,⋯,b0 都是整数. 比较两边系数，即得
a
n
=
s
b
n
−
1
,
a
0
=
−
r
b
0
a_n=sb_{n-1},a_0=-rb_0
an=sbn−1,a0=−rb0
因此
s
∣
a
n
,
r
∣
a
0
s|a_n,r|a_0
s∣an,r∣a0
2021年7月1日23:09:21 有改动
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