二分图匹配的可行边和必须边

定义

给定一张二分图 $,$ 其最大匹配方案不一定是唯一的 $.$ 若任何一个最大匹配方案的匹配边都包括 $(x,y),$ 则称 $(x,y)$ 为二分图匹配的必须边 $.$ 若 $(x,y)$ 至少属于一个最大匹配的方案 $,$ 则称 $(x,y)$ 为二分图匹配的可行边 $.$

解法

保证完备匹配时

我们先求出任意一组完备匹配的方案 $,$ 此时所有节点都是匹配点 $.$

根据定义 $,$ $(x,y)$ 是必须边 $,$ 当且仅当以下两个条件满足 $:$

1. $(x,y)$ 当前是匹配边 $.$
2. 删除边 $(x,y)$ 后 $,$ 不能找到另一条从 $x$ 到 $y$ 的增广路 $.$

$(x,y)$ 是可行边 $,$ 当且仅当满足以下两个条件之一 $:$

1. $(x,y)$ 当前是匹配边 $.$

2. $(x,y)$ 是非匹配边 $,$ 设当前 $x$ 与 $u$ 匹配 $,$ $y$ 与 $v$ 匹配 $,$ 连接边 $(x,y)$ 后 $,$ 节点 $u,v$ 失去匹配 $.$

   必须找到一条从 $u$ 到 $v$ 的增广路 $,$ 来保证最大匹配不变 $.$

如果我们把二分图 $G$ 中的 $"$ 非匹配边 $"$ 看作从左部到右部的有向边 $,$ 把二分图 $G$ 中的 $"$ 匹配边 $"$ 看作从右部到左部的有向边 $,$ 构成一张新的有向图 $,$ 记为 $G^{\prime },$ 那么 $G$ 中从 $x$ 到 $y$ 有增广路 $,$ 等价于 $G^{\prime }$ 中存在从 $x$ 到 $y$ 的路径 $.$

考虑必须边的条件 $,$ $(x,y)$ 是匹配边 $,$ 对应 $G^{\prime }$ 中有一条从 $y$ 到 $x$ 的有向边 $.$ 在此条件下 $,$ 若 $x$ 到 $y$ 之间还存在一条路径 $,$ 则 $x$ 和 $y$ 处于同一个强连通分量中 $.$

因此 $,$ 必须边的判定条件是 $:$ $(x,y)$ 当前是二分图 $G$ 的匹配边 $,$ 并且 $x,y$ 两点在有向图 $G^{\prime }$ 中属于不同的 $Scc.$

类似 $,$ 可行边的判定条件是 $:$ $(x,y)$ 当前是二分图 $G$ 的匹配边 $,$ 或者 $x,y$ 两点在有向图 $G^{\prime }$ 中属于相同的 $Scc.$

综上 $,$ 非必须可行边的判定条件是 $,$ $x,y$ 两点在有向图 $G^{\prime }$ 中属于相同的 $Scc.$

不保证完备匹配时

在这种情况下 $,$ 必须边 $,$ 可行边的第二个条件会出现问题 $.$ 设 $(x,y)$ 是非匹配边 $:$

1. $x,y$ 二者之一可能本来就是非匹配点 $.$ 不妨设 $y$ 是非匹配点 $,$ 此时直接断开 $x$ 原来的匹配边 $,$ 连接 $(x,y),$ 得到的匹配集仍然是最大匹配 $.$
2. 即使当前 $x$ 与 $u$ 匹配 $,$ $y$ 与 $v$ 匹配 $,$ 连接边 $(x,y)$ 后 $,$ 节点 $u,v$ 失去匹配 $,$ 我们也不一定要找到从 $u$ 到 $v$ 的增广路 $,$ 如果从 $u$ 出发找到另一个非匹配点 $z$ 的增广路 $,$ 同样可以得到一组包含 $(x,y)$ 的最大匹配 $.$

所以我们不能像完备匹配中一样 $,$ 直接用强连通分量进行判定 $.$ 然而 $,$ 我们可以借助网络流中的源点和汇点 $.$

若 $z$ 是当前非匹配点 $,$ 则 $(z,T)$ 的剩余容量必定为 $1.$ 若 $v$ 当前是匹配点 $,$ 则 $(v,T)$ 的剩余容量必定为 $0,$ $(T,v)$ 的剩余容量必定为 $1.$ 换言之 $,$ 残量网络中存在路径 $(\cdots \to z\to T\to v\cdots ).$ 若二分图中 $u$ 到 $z$ 有增广路 $,$ 则残量网络上 $u$ 能到达 $z,$ 进而到达 $v,$ 即 $(u,v)$ 通过汇点 $T$ 仍在同一个强连通分量中 $.$

因此 $,$ 必须边的判定条件是 $:$ $(x,y)$ 流量为 $1($ 不是残量网络 $)$ $,$ 并且 $x,y$ 两点在残量网络中属于不同的 $Scc.$

类似 $,$ 可行边的判定条件是 $:$ $(x,y)$ 流量为 $1$ $,$ 或者 $x,y$ 两点在残量网络中属于相同的 $Scc.$