背包模型

$1.0$ $01$背包问题

每一个物品只能取 $1$ 次 $,C++$ 模板 $:$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,Arr[110];
int Dp[100010];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&Arr[i]);
	Dp[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=m;j>=Arr[i];j--)
			Dp[j]+=Dp[j-Arr[i]];
	printf("%d\n",Dp[m]);//m价值的排列个数
	return 0;
}

$2.0$ 完全背包问题

每一个物品能取多次 $,C++$ 模板 $:$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,Arr[110];
int Dp[100010];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&Arr[i]);
	Dp[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=Arr[i];j<=m;j++)
			Dp[j]+=Dp[j-Arr[i]];
	printf("%d\n",Dp[m]);//m价值的排列个数
	return 0;
}

$3.0$ 多重背包问题

有 $n$ 种物品 $,$ 每个物体有 $Cn{t}_i$ 个 $,$ 每一个的价值是 $Ar{r}_i,$ 每一个的体积是 $Vo{l}_i,$ 问容量为 $v$ 的背包能装下的价值总和最大的是多少 $.$

$3.0.1$ 直接拆分法

把每个物品拆分成 $Cn{t}_i$ 个物品 $,$ 然后再跑一遍带价值的一遍背包 $.$

$3.0.2$ 二进制拆分法

把每个物品分成多个不同的物品 $,$ 每个物品的价值 $,$ 体积分别为原来的$2^0,2^1,2^2\cdots 2^p$ 倍 $(2^0+2^1+2^2\cdots +2^p<Cn{t}_i),$ 余下来的物品在组成一个新物品 $,$ 再跑一次带价值的一遍背包即可 $.$

$3.0.3$ 单调队列优化

请见于单调队列优化处.

$3.0.4$ Acwing281

此题为多重背包问题的特殊情况 $,$ 询问可行性 $.$

我们考虑贪心 $,$ 动态规划最小消耗 $.$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,Arr[101],Cnt[101],Dp[2][100011];
int main()
{
	while(~scanf("%d%d",&n,&m)&&(n||m))
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d",&Arr[i]);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d",&Cnt[i]);
		memset(Dp,-1,sizeof(Dp));
		Dp[0&1][0]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=0;j<=m;j++)
				if(Dp[(i-1)&1][j]>=0)
					Dp[i&1][j]=Cnt[i];
				else if(j-Arr[i]>=0&&Dp[i&1][j-Arr[i]]>=1)
					Dp[i&1][j]=Dp[i&1][j-Arr[i]]-1;
		int ans=0;
		for(int j=1;j<=m;j++)
			if(Dp[n&1][j]>=0)ans++;
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}
/*
若f[j]能被拼出

1.前i-1种硬币就能拼成面值j，即在第i阶段开始前，f[j]已经成为true。

2.使用了第i种硬币，即在第i阶段的递推过程中，发现f[j-a[i]]为true，从而使用一个i硬币，使f[j]变为true。

于是可以考虑一种贪心策略：设used[j]表示在第i阶段下将f[j]变为true至少需要使用多少枚第i种硬币。

为了满足我们的贪心策略，我们应该尽量多的使用第1种情况,也就是说在f[j-a[i]]为true时，若f[j]已经为true，就不进行DP转移,并令used[j]=0(我们并没有使用第i种硬币)仅当f[j-a[i]]为true而f[j]为false且已经使用的i硬币used[j-a[i]]<c[i]时，我们使用一个i硬币使f[j]变为true，used[j]=used[j-a[i]]+1;

作者：AsadaShino
链接：https://www.acwing.com/solution/content/11075/
*/

$4.0$ 分组背包问题

有$n$组物品 $,$ 每一组至多选择一个物品 $($也可以不选$),$ 每个物品的体积为$Vo{l}_i$和价值$Ar{r}_i,$问容量为$v$的背包能装下的物品价值总和最大值 $.$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,v,Dp[1100];
int Cnt[1100],Arr[1100][1100],Vol[1100][1100];
int main()
{
	memset(Dp,0xcf,sizeof(Dp));Dp[0]=0;
	scanf("%d%d",&n,&v);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&Cnt[i]);
		for(int j=1;j<=Cnt[i];j++)
			scanf("%d",&Vol[i][j]);
		for(int j=1;j<=Cnt[i];j++)
			scanf("%d",&Arr[i][j]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)//阶段 
		for(int j=v;j>=0;j--)//状态 
			for(int k=1;k<=Cnt[i];k++)//决策 
				if(j>=Vol[i][k])
					Dp[j]=max(Dp[j],Dp[j-Vol[i][k]]+Arr[i][k]);
	printf("%d\n",Dp[v]);
	return 0;
}