欧拉路和哈密顿路

欧拉路

欧拉路是指 $:$ 存在这样一种图 $,$ 可以从其中一点出发 $,$ 不重复地走完其所有的边 $.$ 如果欧拉路的起点与终点相同 $,$ 则称之为欧拉回路 $.$

欧拉路存在的充要条件如下 $:$

1. 图是连通的 $,$ 若不连通不可能一次性遍历所有边。

2. 对于无向图 $:$

• 有且仅有两个点 $,$ 与其相连的边数为奇数 $,$ 其他点相连边数皆为偶数 $;$
  对于两个奇数点 $,$ 一个为起点 $,$ 一个为终点 $.$ 起点需要出去 $,$ 终点需要进入 $,$ 故其必然与奇数个边相连 $.$
    ~  
• 所有点皆为偶数边点 $.$
  如果存在这样一个欧拉路 $,$ 其所有的点相连边数都为偶数 $,$ 那说明它是欧拉回路 $.$ 此时它的起点即是终点 $,$ 出去后还会回来 $,$ 刚好形成偶数边 $.$

3. 对于有向图 $:$

• 除去起点和终点 $,$ 所有点的出度与入度相等 $.$ 起点出度比入度大 $1,$ 终点入度比出度大 $1.$ 若起点终点出入度也相同 $,$ 则为欧拉回路 $.$

哈密顿路

哈密顿回路的定义 $:$ $G=(V,E)$ 是一个图 $,$ 若G中一条路径通过且仅通过每一个顶点一次 $,$ 称这条路径为哈密顿路径 $.$ 若G中一个回路通过且仅通过每一个顶点一次 $,$ 称这个环为哈密顿回路 $.$ 若一个图存在哈密顿回路 $,$ 就称为哈密顿图 $.$