欧拉简单多面体定理

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简单多面体欧拉定理 $:$ 对于简单多面体 $,$ 其各维对象数总满足一定的数学关系 $,$ 在三维空间中设其顶点 $,$ 边和面的数量分别为 $V,E,F$ 则欧拉定理可表示为 $:$

$$V-E+F=2$$

对多面体的顶点数n进行数学归纳 $:$

1. 顶点最少的多面体为四面体 $,$ $n=4$ $($ 三棱锥 $),$ 验证得 $V-E+F=4-6+4=2,$ 命题成立 $.$

2. 假设定理对 $n$ 个顶点的简单多面体成立 $,$ 有 $V_n-E_n+F_n=2.$ 对 $n+1$ 个顶点的多面体的情况 $,$ 我们考虑其中某两个相邻顶点 $,$ 观察其合并成一个顶点的过程 $,$ 发现当两个相邻顶点存在长度为 $2$ 的连通路径的时候 $,$ 情形稍有不同 $,$ 故分为以下两种情况讨论 $:$

情况 $1:$ 两顶点之间不存在长度为 $2$ 的连通路径 $.$

此时合并以后 $,$ 边的数量减少 $1$ 条 $,$ 顶点少 $1$ 个 $,$ 面的数量不变 $,$ 即
$$V_{n+1}=V_n+1,E_{n+1}=E_n+1,F_{n+1}=F_n$$
于是 $,$ 根据归纳假设 $,$
$$V_{n+1}-E_{n+1}+F_{n+1}=V_n+1-(E_n+1)+F_n=V_n-E_n+F_n=2$$
对 $n+1$ 顶点多面体 $,$ 原命题成立 $.$

情况 $2:$ 两顶点存在长度为 $2$ 的连通路径 $.$

此时 $,$ 顶点和边的减少情况同上 $,$ 但是 $,$ 每有一条长度为 $2$ 的连通路径 $,$ 与原来长度为 $1$ 的直接连通组成一个三角形的面 $,$ 这个面也会消失 $,$ 同时连通路径的两条边合并为一条 $,$ 因此面和边的数量也各自要减 $1$ $.$ 于是 $,$ 对存在m个这样的连通路径的情况 $,$
$$V_{n+1}=V_n+1,E_{n+1}=E_n+1+m,F_{n+1}=F_n+m$$
于是 $,$
$$V_{n+1}-E_{n+1}+F_{n+1}=V_n+1-(E_n+1+m)+F_n+m=V_n-E_n+F_n=2$$
对 $n+1$ 顶点多面体 $,$ 原命题成立 $.$

根据数学归纳法 $,$ 原命题得证 $.$