2-Satisfiability专题

模型

有 $N$ 个变量 $,$ 每个变量只有两种可能的取值 $.$ 在给定 $M$ 个条件 $,$ 每个条件都是对两个变量的取值限制 $.$ 求解 $:$ 是否存在对 $N$ 个变量的合法赋值 $,$ 使 $M$ 个条件均得到满足 $.$

设一个变量 $A_i(1\le i\le N)$ 的两种取值分别是 $A_{i,0}$ 和 $A_{i,1}.$ 在 $2-Sat$ 问题中 $,$ $M$ 个条件都可以转化成统一的形式 $--$ 若变量 $A_i$ 赋值为 $A_{i,p},$ 则变量 $A_j$ 必须赋值为 $A_{j,q},$ 其中 p , q ∈ { 1 , 0 } . p,q\in\{1,0\}. p,q∈{1,0}.

判定

1. 建立 $2N$ 个节点的有向图 $,$ 每个变量 $A_i$ 对应两个节点 $,$ 记为 $i,i+N.$
2. 考虑每一个条件 $,$ 形如 $"$ 若变量 $A_i$ 赋值为 $A_{i,p},$ 则变量 $A_j$ 必须赋值为 $A_{j,q},$ 其中 p , q ∈ { 1 , 0 } . p,q\in\{1,0\}. p,q∈{1,0}. $"$ 从 $i+p\ast N$ 到 $j+q\ast N$ 连一条有向边 $.$
   注意 $:$ 上述条件蕴含了它的逆反命题 $,$ 即 $"$ 若变量 $A_j$ 赋值为 $A_{j,1-q},$ 则变量 $A_i$ 必须赋值为 $A_{i,1-p},$ 其中 p , q ∈ { 1 , 0 } . p,q\in\{1,0\}. p,q∈{1,0}. $"$ 若给出的条件不包含它的逆反命题 $,$ 应该从 $j+(1-q)\ast N$ 到 $i+(1-p)\ast N$ 连一条有向边 $.$
3. 用 $Tarjan$ 算法求出当前的有向图的所有强连通分量 $.$
4. 若存在 $i\in [1,N],$ 满足 $i$ 和 $i+N$ 属于同一个强连通分量 $,$ 这说明若变量 $A_i$ 赋值为 $A_{i,p},$ 则变量 $A_i$ 必须赋值为 $A_{i,1-p},$ 显然不可能 $.$
5. 根据 $Tarjan$ 算法的特性 $,$ 编号更小的 $Scc$ 显然处于缩点后拓扑序的末尾 $,$ 同时 $,$ 在一个 $Scc$ 中 $,$ 只要确定了一个变量的取值 $,$ 其他 $Scc$ 的取值也确定了 $,$ 其次 $,$ 在缩点后的 $Dag$ 中 $,$ 如果一个点有出度 $,$ 会使出边的点被强制更新 $,$ 所以我们应该选择出度为零的点 $.$
   综上两 $,$ 如果 $Belon{g}_i>Belon{g}_{i+N}(i\in [1,N])$ $,$ 我们令变量 $A_i$ 赋值成 $A_{i+N}.$

构图方法

1.如果有一个变量的取值直接导致无解 $,$ 则把这个取值和另一个取值连有向边 $,$ 这样如果被迫选择了这个变量 $,$ 直接无解 $.$
2.如果某个变量必须取某个取值 $,$ 那么把另一个取值直接和这个取值连有向边 $.$