只有一种“足球”的证明

在高二学习多面体欧拉定理时， 我遇到了这样一道题目：

 题 ：欲制作一个由正六边形和正五边形皮子组 成的足球 ， 现有 5块六边形皮子， 请问需要几块正五边形皮子. 

解： 设正五边形皮子的个数为，由多面体欧拉定理 F+V-E =2知：( 5+x )+ $\frac13$ ( 6×5+5x)一$\frac12$( 6×5+5x)= 2， 解得 ：x=12， 即需要12块正五边形皮子． 若将题目中的“5个正六边形”改为“Y个正六边形”，则可解出： **x=12,Y=1,2,3⋯．即：欲制足球,正五边形个数一定是 1 2，而正六边形个数是任意正整数都可以．以此为根据 ，老师们任意给 Y赋值，编出一系列题目．例如文献[ 1]的作者令 Y=5．但是否这些“足球”都存在呢?我进行了探究 ， 并得出结论 ：“ 足球”只有一种．即 Y的取值是唯一 的， 这个值是 20．
** 1 问题 定义“足球”：由若干个( 不为零)正五边形和正六边形组成的简单多面体．请问有哪几种足球?
2 解答
首先明确三个定义：
定义“ 足球片” 等棱长的正五边形和正六边形统称足球片．
定义“侧角” 两共棱足球片公共棱两侧的两组棱所成的两个角叫做这两个共棱足球片的侧角(即图 1中的，∠ABC， ∠A′B′C′ ) 定义.
“基本单位” 一个足球片与其周围的足球片一起称作一个基本单位( 如图 2)．中间的足球 片叫中心足球片， 它周围的足球片叫外围足球片． 其次证明两条引理. 引理1 空间中， 两共棱足球片所成侧角相等． (即图 1中， ABC= ∠A′B′C′ )．
证明 当两足球片分别为正五边形和正六边 形时， 如图1，在平面中，由角度关系知两侧角相等在空间中，固定正五边形 ， 使正六边形绕轴转动．以轴的垂直平分面为镜面，两侧角成镜面对称，相等关系仍保持，当两共棱足球片全是正五边形或全是正六边形时，同理可以证明两侧角相等，故引理1得证．

引理2 一基本单位的外围足球片中， 若有两个足球片共棱且棱数相等， 则所有外围足球片的棱数都与这两个足球片的棱数相等． 证明 当各足球片棱数如图1时， 因为D点将与C点粘合， 所以 ABC= ∠A′B′D′ =1 2 0。 由引理1 ∠A′B′C′ =∠ABC=120。所以A 棱只能粘合正六边形．同样地， A～ E 棱和棱所粘合的足球片也只能是正六边形． 此时引理 2成立．对于引理 2，中心足球片和外围足球片的棱数共四种情况， 同理可证其他三种情况下， 引理 2也成立 ． 故引理 2得证 ．
下面讨论基本单位的存在性． 当中心足球片是正六边形时， 其外围足球片可能的情况如下表：


情况2中， 六个外围足球片中有五个是正五边形， 所以必有两个正五边形是共棱的．由引理 2， 所有外围足球片都是正五边形．而情况2的外围足球片中却有一个正六边形， 与引理 2矛盾． 所以情况2是不存在的．同样地，用引理 2可证明情况 3、 5、 6、 9、10、 11、 12也是不存在的． 对于情况 7，由引理 2知这种“足球”中无正五边形， 与定义不符，舍去． 类似地， 情况8也舍去． 对于情况1，在一个基本单位内找不到矛盾．而 向外扩展时，就会出现矛盾． 图 3中各足球片粘合后，由引理1知：∠F′G′H′=∠FGH=120， 所以 G’H′ 棱只能粘合正六边形．同理 ， KH’棱也只能粘合正六边形．以一号为中心足球片，二号和三号是两个棱数相等且共棱的外围足球片， 由引理2知， 一号足球片周围应都是正六边形.而下图并非如此， 与引理2矛 盾． 所以， 情况1也是不存在的。

对于情况 4(图4)，以四号足球片为中心，由引理2可得情况 1 3． 所以两种基本单位是同一种情况从不同角度观察的结果. 至此，我们排除了十三种基本单位中的十二种．下面，我们以仅剩的情况 l 3来构造足球.

将情况 1 3进行扩展，得图5．由图知，每个正五边形周围有5个正六边形,每个正六边形被 3个正五边形共用． 于是有Y=$\frac13$x， 又 x=l 2， 所以 Y= 20. 至此,我们从唯一性角度证明了其他“足球”是不存在的，只可能有这一种． 用切割正十二面体的方法可以构造这种“足 球”， 这保证了存在性． 综上，“足球”只有一种． 它是由12个正五边形和20个正六边形组成的． 所以， 将值赋为 5无法做出足球． 更进一步， 只有赋为20才能做出足球． 我们不仅得到了一个很美的结论，还指出了一类题目的错误．希望我的证明能给老师和参考书编者们提个醒， 使我们的数学工作更严谨．