差分约束问题

模型

差分约束系统是一种特殊的 $N$ 元一次不等式组 $.$ 包含 $N$ 个变量 $x_1\sim x_n$ 以及 $M$ 个约束条件 $,$ 每个约束条件都是由两个变量作差构成的 $,$ 形如 $x_i-x_j\le c_x$ $,$ 其中 $c_x$ 是一个常数 $,$ $1\le i,j\le N,1\le k\le M.$ 求一组解 $x_i=a_i,$ 是所有约束条件满足 $.$

每一个约束条件 $x_i-x_j\le c_x$ 可以变形为 $x_i\le x_j+c_x.$ 这与最短路问题中的三角形不等式 $Dis{t}_y\le Dis{t}_x+Cos{t}_k$ 很相似 $.$ 于是我们考虑对每一个形如 $x_i-x_j\le c_x$ 的约束条件建一条有向边 $(j,i,c_k),$ 同时 $,$ 注意到如果 { a i } \{a_i\} {ai​} 是一组解 $,$ 那么对于任意常数 $\Delta ,$ { a i + Δ } \{a_i+\Delta\} {ai​+Δ} 显然也为原系统的一组解 $,$ 于是可以建立起点 $S,$ 连接 $S$ 到 所有点 $i,$ 边权为 $0$ 的有向边 $,$ 令 $Dis{t}_S=0,$ 跑一遍单源最短路径 $,$ 若出现了负环 $,$ 说明恒存在路径 $(x,y,c),$ 使得$Dis{t}_y>Dis{t}_x+c,$ 故无解 $.$ 否则 $,$ { D i s t i } \{Dist_i\} {Disti​} 为原系统的一组解 $.$

构图方法

$$\begin{gathered} x_i-x_j\le c_x\Rightarrow (j,i,c) \\ {x}_i-x_j\ge c_x\Rightarrow (i,j,-c) \\ {x}_i-x_j=c_x\Rightarrow (i,j,c),(j,i,c) \\ {x}_i-x_j<c_x\Rightarrow (j,i,c-Eps) \\ {x}_i-x_j>c_x\Rightarrow (i,j,-c-Eps) \end{gathered}$$
最短路和最长路可以互相转化 $.$

若题目中没有适当的约束系统 $,$ 这可以利用前缀和等有作差关系的变量构成系统 $.$

若题目中出现了多个变量的不等式 $,$ 可以枚举或有单调性时二分冗余变量 $,$ 并在二分时使冗余变量与超级源点的差为二分或枚举的值 $,$ 强迫其相等 $.$