算法设计与分析: 4-8 d森林问题

d森林问题

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问题描述

设 T 是一棵带权树，树的每一条边带一个正权。又设 S 是 T 的顶点集,T/S 是从树 T 中 将 S 中顶点删去后得到的森林。如果 T/S 中所有树的从根到叶的路长都不超过 d ，则称 T/S 是一个 d 森林。
(1)设计一个算法求 T 的最小顶点集 S，使 T/S 是 d 森林。(提示:从叶向根移动)
(2)分析算法的正确性和计算复杂性。
(3)设 T 中有 n 个顶点，则算法的计算时间复杂性应为 $O ( n )$ 。

对于给定的带权树，编程计算最小分离集 S。

数据输入：
第一行有 1 个正整数 n，表示给定的带权树有 n 个顶点，编号为 1，2，…，n。编号为 1 的顶点是树根。接下来的 n 行中，第 i+1 行描述与 i 个顶点 相关联的边的信息。每行的第一个正整数 k 表示与该顶点相关联的边数。其后 2k 个数中， 每 2 个数表示 1 条边。第一个数是与该顶点相关联的另一个顶点的编号，第二个数是边权值。 当 k=0 时表示相应的结点是叶结点。文件的最后一行是正整数 d，表示森林中所有树的从根 到叶的路长都不超过 d 。

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Java

import java.util.Scanner;

public class DSenLin {

    private static int n,p,len,d;
    private static int[] deg,parent,parlen,leaf;
    private static int[] dist;
    private static int[] cut;

    public static void main(String[] args){

        Scanner input = new Scanner(System.in);

        while (true){
            n = input.nextInt();

            deg = new int[n+1];
            parent = new int[n+1];
            leaf = new int[n+1];
            parlen = new int[n+1];
            cut = new int[n+1];
            dist = new int[n+1];

            for(int i=1; i<=n; i++){
                deg[i] = input.nextInt();
                for(int j=0; j<deg[i]; j++){
                    p = input.nextInt();
                    len = input.nextInt();
                    parent[p] = i;
                    parlen[p] = len;
                }
                if(deg[i] == 0)
                    leaf[++leaf[0]] = i;
            }
            d = input.nextInt();

            int result = count();

            System.out.println(result);
        }
    }

    private static int count(){
        int total = 0;
        for(int i=1; i<=leaf[0]; i++)
            if(leaf[i] != 1){//不是根结点
                int plen = parlen[leaf[i]], par = parent[leaf[i]];
                if(cut[par]<1 && dist[leaf[i]]+plen>d){//父结点（与之连接的上一级结点）未被删，且该结点当前最大路长（权值）加上到父结点距离（权值）大于d
                    total++;
                    cut[par] = 1;
                    par = parent[par];//指向该被减结点的父结点，以便父结点关联边数减去1
                }else if(cut[par]<1 && dist[par]<dist[leaf[i]]+plen)//更新结点路长（权值）
                    dist[par] = dist[leaf[i]] + plen;
                if(--deg[par] == 0)//更新结点关联边数
                    leaf[++leaf[0]] = par;//关联边数等于0时 添加叶结点
            }

        return total;
    }
}

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Input & Output

4
2 2 3 3 1
1 4 2
0
0
4
1

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Reference

王晓东《计算机算法设计与分析》（第3版）P131