洛谷——P1048 采药

原题链接

这是一道非常基础的01背包问题，背包容量就是时间，物品价值就是草药价值。

我们先来看二维的背包。状态很容易写出来，dp[i][j]就是前i种草药j时间内所能采到的最大价值。动态转移方程也就很容易写出，dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]],v[i]储存的是第i种草药的时间。第二种情况需要j>=v[i]。代码如下（时间和体积数组直接用对组储存）：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;

int t, m;
int dp[110][1010];
PII h[110];

int main()
{
	cin >> t >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		cin >> h[i].first >> h[i].second;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		for (int j = 0; j <= t; j++) {
			dp[i][j] = dp[i - 1][j];
			if (j >= h[i].first)
				dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - h[i].first] + h[i].second);

		}
	}
	cout << dp[m][t];
	return 0;
}

当然，可以将其优化成一维数组。这里不同的是，第二层循环是从大到小。这里我给出两种不同的理解方式。我们先看二维的状态转移方程：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]。如果将其改为一维，就是dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]])。如果第二层循环是从小到大，dp[j-v[i]]用到的是第i层更新的结果，但是二维的时候所用到的是第i-1层的。
第二种理解方式是如果从大到小，一种草药就可能被采摘多次。这就变成了完全背包。

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;

int t, m;
int dp[1010];
PII h[110];

int main()
{
	cin >> t >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		cin >> h[i].first >> h[i].second;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		for (int j = t; j >= h[i].first; j--) {
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - h[i].first] + h[i].second);
		}
	}
	cout << dp[t];
	return 0;
}

附搜索代码和记忆化搜索代码
搜索代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
int ans;
PII h[110];
int t, m;
void dfs(int level, int timeleft, int val) {
	if (level == m + 1) {
		ans = max(ans, val);
		return;
	}
	if (timeleft >= h[level].first)
		dfs(level + 1, timeleft - h[level].first, val + h[level].second);
	dfs(level + 1, timeleft, val);

}
int main()
{
	cin >> t >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		cin >> h[i].first >> h[i].second;
	dfs(1, t, 0);
	cout << ans;
	return 0;
}

记忆化搜索：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
int ans;
PII h[110];
int t, m;
int mem[110][1010];

int dfs(int level, int timeleft) {
	if (mem[level][timeleft] != -1)
		return mem[level][timeleft];
	if (level == m + 1) {
		return mem[level][timeleft] = 0;
	}
	int dfs1 = -1, dfs2;
	if (timeleft >= h[level].first)
		dfs1 = dfs(level + 1, timeleft - h[level].first) + h[level].second;
	dfs2 = dfs(level + 1, timeleft);
	return mem[level][timeleft] = max(dfs1, dfs2);
}
int main()
{
	memset(mem, -1, sizeof mem);
	cin >> t >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		cin >> h[i].first >> h[i].second;
	cout << dfs(1, t);
	return 0;
}