洛谷——P1257 平面上的最接近点对

本文介绍了一种利用分治策略解决最近点对问题的算法实现。通过将坐标按x轴排序,并在中间画线,分别计算左右两侧及跨线点对的最小距离,最终找到所有点对中距离最近的一对。代码使用C++实现,详细展示了分治与合并过程。

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原题链接
据说暴力可以
不过,我们还是采取分治思想,简单的说就是把一个大问题分解成一个个的小问题。
那么这道题如何分治呢?
很容易可以想到在中间画一条线,求解左右两侧以及跨越左右的最小距离。(可以联想归并排序)
按照这样的想法,现将坐标按x排列。
思想核心:
将所有点分为左右两端,继续分直至左值等于右值或是左值+1等于右值,计算出两点距离。如果left==right,直接返回一个大数即可。
接着是“合”。因为左右有最小值限制,所以两侧的端点x之差和y之差均不能超过最小值。记录,一一枚举即可。

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
using namespace std;
int n;
struct Point {
 int x;
 int y;
}point[10001];
bool cmp(Point a, Point b) {
 return a.x < b.x;
}
int temp[10001];
//合
double merge(int l, int r, int delta) {
 int k = 0;
 int mid = (l + r) >> 1;
 for (int i = l; i <= r; i++) {
  if (abs(point[i].x - point[mid].x) < delta && abs(point[i].y - point[mid].y) < delta) {
   temp[k++] = i;
  }
 }
 double mind = 10000000;
 for (int i = 0; i < k; i++) {
  for (int j = i + 1; j < k; j++) {
   double dis = sqrt(pow(point[temp[i]].x - point[temp[j]].x, 2) + pow(point[temp[i]].y - point[temp[j]].y, 2));
   if (dis < mind)
    mind = dis;
  }
 }
 return mind;
}
//分
double divi(int l, int r) {
 if (r == l) {
  return 1000000;
 }
 else if (r - l == 1) {
  return sqrt(pow(point[l].x - point[r].x, 2) + pow(point[l].y - point[r].y, 2));
 }
 int mid = (l + r) >> 1;
 double d1 = divi(l, mid);
 double d2 = divi(mid + 1, r);
 double mind1 = d1 < d2 ? d1 : d2;
 double mind2 = merge(l, r, mind1);
 return mind1 < mind2 ? mind1 : mind2;
}
int main()
{
 cin >> n;
 for (int i = 0; i < n; i++) {
  cin >> point[i].x >> point[i].y;
 }
 sort(point, point + n, cmp);
 cout << fixed << setprecision(4) << divi(0, n - 1);
 return 0;
}
### 关于洛谷 P1746 离开中山路的 Python 解题思路 对于编号为P1746的题目《离开中山路》,该问题属于图论中的短路径求解类问题。给定地图上的多个节以及连接这些节的道路长度,目标是从起到终找到一条总距离小的路径[^1]。 #### 数据结构的选择 为了高效处理此类问题,可以采用邻接表来表示输入的地图数据。邻接表不仅节省空间而且便于快速访问相连边的信息。此外,在寻找短路径过程中,优先队列(通常通过堆实现)能够帮助按照当前累计成本从小到大顺序遍历各个顶[^2]。 #### Dijkstra算法的应用 针对本题特——即不存在负权边的情况,Dijkstra算法是一个合适的选择。此方法从源结出发逐步扩展已知区域直至覆盖整个网络;每次从未被收录进来的候选集中挑选具有低估计代价者作为新的探索中心,并更新其相邻未访问过的邻居们的临时标记值直到抵达目的地为止[^3]。 下面是具体的Python代码实现: ```python import heapq def dijkstra(n, edges, start, end): graph = [[] for _ in range(n)] # 构建加权无向图的邻接列表形式 for u, v, w in edges: graph[u].append((v, w)) graph[v].append((u, w)) dist = [float('inf')] * n # 初始化所有节的距离为无穷大 prev = [-1] * n # 记录前驱用于重建路径 pq = [(0, start)] # 将起始位置加入优先级队列并设初始距离为零 dist[start] = 0 while pq: d, node = heapq.heappop(pq) if node == end: # 提早终止条件:当到达终时停止搜索 break if d > dist[node]: # 跳过已经找到了更优解的情形 continue for neighbor, weight in graph[node]: new_dist = d + weight if new_dist < dist[neighbor]: dist[neighbor] = new_dist prev[neighbor] = node heapq.heappush(pq, (new_dist, neighbor)) path = [] curr = end while curr != -1: path.append(curr) curr = prev[curr] return list(reversed(path)), dist[end] if __name__ == "__main__": N = ... # 输入城市数量N M = ... # 道路条数M roads = [...] # 所有道路信息[(A_i,B_i,C_i)...] S, T = ..., ... # 出发S和目的地T result_path, min_distance = dijkstra(N, roads, S-1, T-1) # 注意索引调整 print(f"The shortest distance is {min_distance}.") print("The optimal route:", " -> ".join(map(str,[i+1 for i in result_path]))) ```
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