控制算法简析6——PID的控制工程原理

承接上一篇(控制算法简析5——被控系统分析)，也和《控制算法简析1——PID和负反馈的数学原理》有呼应关系。

介绍完系统建模和基本的系统分析后，我们已经了解了被控对象的特性，这时，就需要用一个合理的控制器，让这个被控对象在该控制器下按照指定的给定来执行，最为广泛使用的那就是PID控制器了。
在本教程中，我们将介绍一个简单而通用的反馈补偿结构，比例积分微分(PID)控制器，PID控制器之所以被广泛采用，是因为它非常容易理解并且非常有效，工程师不需要太理解控制论，只需要理解积分和微分就可以实施控制系统。此外，即使微分积分很简单，它也很复杂，因为它可以包含了系统的历史(积分)，并可以预测系统的未来行为(微分)。我们将讨论每个PID参数对闭环系统动力学的影响，并将演示如何使用PID控制器来改善系统性能。

PID概述

在本教程中，我们将考虑以下统一的反馈系统：

上闭环图的传递函数为：

其中，$C(s)$ 中PID控制器的输出等于被控对象的输入，它在时域中根据反馈误差计算如下：

首先，让我们使用上面显示的示意图了解PID控制器在闭环系统中的工作方式，变量 $e$ 表示跟踪误差，即期望输出 $r$ 与实际输出 $y$ 之差。该误差信号 $e$ 传给PID控制器，并且控制器计算该误差信号相对于时间的导数和积分，发送到被控对象的控制信号 $u$ 即通过controller的PID计算得出。

通过对上式进行拉普拉斯变换，可以找到PID控制器的传递函数。

其中， $K_p$ 是比例增益， $K_i$ 是积分增益，$K_d$ 是微分增益。
我们可以使用传递函数直接在MATLAB中定义PID控制器，例如：

Kp = 1;
Ki = 1;
Kd = 1;

s = tf('s');
C = Kp + Ki/s + Kd*s

或者，我们可以使用MATLAB的pid对象生成等效的连续时间控制器，如下表示：

C = pid(Kp,Ki,Kd)

让我们将pid对象转换为传递函数，可以看到产生的结果与上述相同：

tf(C)

PID的特征

增加比例增益 $K_p$ 具有在相同误差水平下按比例增加控制信号的效果，对于给定的误差级别，控制器将更"有力"，会使闭环系统做出更快的反应，但也会导致超调，增加 $K_p$ 的另一个效果是它将稳态误差趋于减少，但不能消除误差。

在控制器中添加一个微分项 $K_d$ ，可以增加控制器对“未来”误差的判断能力，对于简单的比例控制，如果 $K_p$ 是固定的，要想增大控制输出，则必须增大误差，而利用微分项，即使误差的幅值很小，但如果误差的斜率是增大的，那么控制输出也会增大，这种方式往往会增加系统阻尼，从而减少超调。但是，增加导数项并不会对稳态误差产生影响。

在控制器中添加一个积分项 $K_i$ ，有助于降低稳态误差，如果存在持续的，稳定的误差，则积分器会不断累积，从而增加控制输出来降低误差。但是，积分项的一个缺点是，但误差的正负发生改变时，积分器可能需要一段时间才能“改变符号”，这会使系统更加缓慢和振荡。

下表总结了每个控制器参数：
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参数	上升时间	超调	稳定时间	误差
$K_p$	减小	增大	变化小	减小
$K_d$	减小	增大	增大	减小
$K_i$	变化小	减小	减小	减小

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例子

假设我们有一个简单的质量块弹簧阻尼器系统，这个在前面建模部分有介绍过。

该系统的控制方程为：

对控制方程进行拉普拉斯变换，可以得到：

给定：
m = 1 kg
b = 10 N s/m
k = 20 N/m
F = 1 N
将这些值代入上述传递函数

此问题的目的是展示 $K_p$、$K_i$、$K_d$ 的调整，对以下被控系统指标的影响：

• 快速的上升时间
• 最小过冲
• 零稳态误差

开环响应

让我们首先查看开环阶跃响应：

s = tf('s');
P = 1/(s^2 + 10*s + 20);
step(P)
grid on;

开环响应图：

被控对象的传递函数的直流增益为1/20，因此0.05是单位阶跃输入的最终值，这相当于95%的稳态误差，这是非常大的。此外，上升时间约为1s，稳定时间约为1.5s，让我们设计一个控制器，该控制器将减少上升时间，减少稳定时间并消除稳态误差。

比例控制

从上表中可以看出，比例控制器 $K_p$ 减少了上升时间，增加了超调，但减少了稳态误差。
以下是带有比例控制器的单位反馈系统的闭环传递函数，其中 $X(s)$ 是我们的输出(等于 $Y(s)$ )，而我们的参考 $R(s)$ 是输入：

让比例增益 $K_p$ 等于300

Kp = 300;
C = pid(Kp)
T = feedback(C*P,1)

t = 0:0.01:2;
step(T,t)
grid on;

上图显示比例控制器减少了上升时间，稳定时间和稳态误差，但增加了过冲。

比例微分控制

现在，让我们看一下PD控制，从上表中可以看出，添加微分控制 $K_d$ 可以减少过冲和稳定时间，具有PD控制器的给定系统的闭环传递函数为：

令 $K_p$ 等于300，并让 $K_d$ 等于10

Kp = 300;
Kd = 10;
C = pid(Kp,0,Kd)
T = feedback(C*P,1)

t = 0:0.01:2;
step(T,t)
grid on;

该图表明，微分项的增加减少了超调和稳定时间，并且对上升时间和稳态误差的影响可忽略不计。

比例积分控制

在进行PID控制之前，让我们研究一下PI控制，从表中可以看出，积分控制 $K_i$ 的增加有减少上升时间，增加超调和稳定时间，减小稳态误差的趋势。对于给定的系统，带有PI控制器的闭环传递函数：

让我们将 $K_p$ 减少到30，并使 $K_i$ 等于70。

Kp = 30;
Ki = 70;
C = pid(Kp,Ki)
T = feedback(C*P,1)

t = 0:0.01:2;
step(T,t)

在MATLAB命令窗口中运行，即可生成上面的图，我们减小了比例增益 $K_p$，因为积分控制器也像比例控制器那样减少上升时间和增加超调(双重作用)，上面的响应表明，在这种情况下，积分控制器消除了稳态误差。

比例积分微分控制

现在，让我们研究一下PID控制，具有PID控制器的给定系统的闭环传递函数为：

经过多次调整，比例增益 $K_p$ = 350，$K_i$ = 300 和 $K_d$ = 50。

Kp = 350;
Ki = 300;
Kd = 50;
C = pid(Kp,Ki,Kd)
T = feedback(C*P,1);

t = 0:0.01:2;
step(T,t)
grid on;

现在，我们设计了一种闭环系统，该系统没有超调，上升时间快且没有稳态误差。

设计PID控制器的一般流程

在为给定系统设计PID控制器时，请遵循以下所示的步骤来获得所需的响应

1. 获得开环响应并确定需要改进的内容；
2. 添加比例环节来改善上升时间；
3. 添加微分环节来减少超调；
4. 添加积分环节来减少稳态误差；
5. 调整 $K_p$、$K_i$、$K_d$，直到获得所需的效果。

最后，请记住，你可以不用再系统中都使用三个控制环节，例如，如果PI控制器可以满足所定的要求(如上述示例)，则无需在系统上实现PID控制器，保持控制器尽可能的简单。