279. 完全平方数

题目

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4
示例 2：

输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9

提示：

1 <= n <= 104

链接

279. 完全平方数

四平方和定理

class Solution {
public:
    bool check(int n){
        int r = sqrt(n);
        return r*r == n;
    }

    /**
    根据 拉格朗日四平方和定理，可以得知答案必定为 1, 2, 3, 4 中的一个。
    其次根据 勒让德三平方和定理，可以得知当 n=4^a(8b+7)时，n不能写成 3 个数的平方和。
    然后可以根据以上定理和枚举，判断出答案是否为 1, 2, 3，若都不是则答案为 4。
    **/
    int numSquares(int n) {
        // 四平方和定理
        // 判断是否答案是否为1
        if(check(n))return 1;
        // 判断是否答案是否为2
        for(int i = 1; i < n/i; i++)
            if(check(n - i*i)) return 2;
        
        // 循环除以4
        while(n % 4 == 0) n /= 4;
        
        // 判断是否答案是否为3
        if(n % 8 != 7) return 3;
        // 否则答案为4
        return 4;
    }
};

dp

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        // 思路：dp
        // 状态表示：dp[i]表示和为i的完全平方数的最少数量
        // 状态计算：dp[i] = 1 + min(dp[i-1], dp[i-4], dp[i-9]...)
        // dp[i] 表示数字i最少可以由几个完全平方数相加构成
        // 位置i只依赖 i-j*j 的位置，如 i-1、i-4、i-9 等等位置，才能满足完全平方分割的条件。
        // 因此dp[i]可以取的最小值即为 1 + min(dp[i-1],dp[i-4],dp[i-9]...)
        vector<int> dp(n+1, 0);
        // 枚举容量
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            dp[i] = i;// 最坏的情况: 所有被加起来的完全平方数都是1
            for(int j = 1; i - j*j >= 0; j++)
                dp[i] = min(dp[i], dp[i -j*j]+1); // dp[i] 表示数字i最少可以由几个完全平方数相加构成
        }
        return dp[n];
    }
};