27.完全平方数

一、题目描述

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。

完全平方数是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

二、解题思路

首先把题目翻译一下：完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑成正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少件物品？这就是一道完全背包问题的题目。

第一步： 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]:表示最少需要多少个数的平方来表示整数 i。

第二步：确定递推公式

这些数必然落在区间 [1, 根号n ]。我们可以枚举这些数，假设当前枚举到 j，那么我们还需要取若干数的平方，构成 i-j*j，此时我们发现该子问题和原问题类似，只是规模变小了。这符合了动态规划的要求，于是我们可以写出状态转移方程。

dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j-i*i]+1)

第三步： dp数组如何初始化

dp[0]表示 和为0的完全平⽅数的最⼩数量，那么dp[0]⼀定是0。0*0也应该算是一种，但是题目描述的是找到若⼲个完全平⽅数（⽐如 1, 4, 9, 16, …），题⽬描述中可没说要从0开始，dp[0]=0完全是为了递推公式。

第四步: 确定遍历顺序

这是一道完全背包问题，不涉及组合或者排列，所以外层for遍历背包，⾥层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的。这里以外层遍历背包，内层遍历物品为例：

for(int i=1; i<=n; i++){ //遍历背包
    dp[i] = i;
    for(int j=0; j*j<=i; j++){  //遍历物品
        dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i-j*j]+1);
    }
}

其实上面遍历中一直搞不懂为什么要加上一个dp[i] = i，因为之前做类似的题貌似没有这个步骤呀，也就是为什么每次都要更新dp，下面分析一下，代码刚开始循环是初始情况如下：

dp = [0,0,0,0,0,0,0]

以n=6为例，先不加上dp[i]=i现在进入循环

外层循环第一轮：i=1
	dp[i] = 0;	
	内层第一轮：
		dp = [0,0,0,0,0,0,,0]
		j=0时 dp[0] = 0；	dp[i-j*j] = 0;
		dp[n] = 0
	内层第二轮：
		dp = [0,0,0,0,0,0,0]
		j=1时 dp[0] = 0；	dp[i-j*j] = 0;
		dp[n] = 0
其实只经过一次循环就可以看出，每次dp[i或者dp[i-j*j]]的取值都是从初始的dp = [0,0,0,0,0,0,]中去取的，所以下面不管再怎么循环，结果都是0。（如果不明白可以自己debug模式一步步调一下就知道了）

现在加上dp[i]=i进入循环再来看一下：

初始：dp = [0,0,0,0,0,0,0]
外层循环第一轮：i=1
	dp[i] = 1;	
	内层第一轮：
		dp = [0,1,0,0,0,0,0] 这里dp数组更新了
		j=0时 dp[i] = 1；	dp[i-j*j] = 1;
		dp[n] = 0
	内层第二轮：
		dp = [0,1,0,0,0,0,0]
		j=1时 dp[i] = 0；	dp[i-j*j] = 0;
		dp[n] = 0

外层循环第二轮：i=2
	dp[i] = 1;	
	内层第一轮：
		dp = [0,1,2,0,0,0,0] 这里dp数组更新了
		j=0时 dp[i] = 2；	dp[i-j*j] = 2;
		dp[n] = 0
	内层第二轮：
		j=1时 dp[i] = 2；	dp[i-j*j] = 1;
		dp = [0,1,0,0,0,0,0]
		dp[n] = 0

外层循环第三轮：i=2
	dp[i] = 1;	
	内层第一轮：
		dp = [0,1,2,3,0,0,0] 这里dp数组更新了
		...........
这里就不在继续循环下去了，因为到这里就能看到不同了，

最后一轮：dp = [0,1,2,3,1,2,3], dp[n]=3

第五步：举例推导dp数组

以输入n=5为例：

三、代码演示

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        //确定dp
        int[] dp = new int[n+1];

        //初始化dp
        dp[0] = 0;

        //遍历
        for(int i=1; i<=n; i++){ //遍历背包
            dp[i] = i; //特别注意这里
            for(int j=0; j*j<=i; j++){  //遍历物品
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i-j*j]+1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}