Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（19）—摄像机模型之射影摄像机

            摄像机模型之射影摄像机

1.摄像机构造

  一般射影摄像机可以按$P=[M|p_4]$其中$M$是3X3 矩阵,如果$M$
是非奇异的，那么它是有限摄像机;反之则不然。

摄像机中心

  摄像机中心$C$是$P$的一维右零空间，即$PC=0$

• 有限摄像机(M 非奇异)$$C=\left(\begin{array}{c}-M^{-1}{p}_4\\ 1\end{array}\right)$$

• 无穷远摄像机(M 奇异)$$C=\left(\begin{array}{c}\mathbf{d}\\ 1\end{array}\right)$$

  其中，$\mathbf{d}$是$M$的3 维矢量， 即$M\mathbf{d}=0$

列点

  对于$i=1,...,3$列矢量$p_i$分别对应于$X，Y，Z$轴在图像上的消影点。列$p_4$是坐标原点的图像。

主平面

  摄像机的主平面是$P$的最后一行$P^3$。

轴平面

  平面$P^1$和$P^2$($P$的第一和第二行)表示空间中过摄像机中心的平面，分别对应于映射到图像上直线$x=0$和$y=0$的点。

主点

  图像点$x_0=M{m}^3$是摄像机的主点，其中$m^{3T}$是$M $的第三行。

主射线

  摄像机的主射线(主轴)是过摄像机中心$C$而方向矢量为$m^{3T}$的射线。主轴矢量$v=det(M)m^3$指向摄像机的前方。

2.射影摄像机对点的作用

正向投影

  在无穷远平面上的点$D=(d^T,0{)}^T$表示消影点。.这些点映射到：
$$x=PD=[M|p_4]D=Md$$

点到射线的反向投影

  给定图像中的一个点$x$我们来确定是空间的哪些点被映射到该点。
这些点将组成过摄像机中心的一条空间射线。
$$X(\lambda )=P^{+}x+\lambda C$$

  其中$P^{+}$是$P$的伪逆。$P^{+}=P^T(P{P}^T{)}^{-1}$并且$P{P}^{+}=I$。
  一个图像点$x$反向投影的射线交无穷远平面于点$D=((M^{-1}x{)}^T,0{)}^T$。将射线写成其与摄像机中心的两点的连接：
$$X(\mu )=\mu \left(\begin{array}{c}{M}^{-1}x\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-M^{-1}{p}_4\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{M}^{-1}(\mu x-p_4)\\ 1\end{array}\right)$$

点的深度

结论1  令$\mathbf{X}=(X,Y,Z,T{)}^T$是一个$3D$点而$P=[M|p_4]$是一个有限摄像机的摄像机矩阵， 假定$P(X,Y,Z,T{)}^T=W(x,y,1{)}^T$那么:
$$depth(\mathbf{X};P)=\frac{sign(detM)w}{T\Vert m^3\Vert }$$
是在摄像机主平面前方的点$X$的深度。

摄像机矩阵的分解

求摄像机中心

  中心$C=(X,Y,Z,T{)}^T$,其中：
$$X=det([p_2,p_3,p_4])$$
$$Y=-det([p_1,p_3,p_4])$$
$$Z=det([p_1,p_2,p_4])$$
$$T=-det([p_1,p_2,p_3])$$

求摄像机定向和内部参数

$$P=[M|-M\tilde{C}]=K[R|-R\tilde{C}]$$

  其中：
$$K=\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }_x& s& x_0\\ 0& {\alpha }_y& y_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

• ${\alpha }_x$是$x$-坐标方向的比例因子
• ${\alpha }_y$是$y$-坐标方向的比例因子
• $s$是扭曲参数
• $(x_0,y_0{)}^T$是主点的坐标
• 像素长度比${\alpha }_x/{\alpha }_y$