格点统计（分块&数学）

自己偶然看到的一个题目对它进行了进一步的思考。

题目大意

求第一象限中位于xy=k下面的点对的个数是多少？

个人YY

我们可以先做一遍暴力（手玩也可以），比如说k=4时，
我们可以列出以下的满足题意的点对
(1,4) (1,2) (1,3) (1,4)
(2,1) (2,2)
(3,1)
(4,1)
进一步思考，题意可转化为求

$$\sum_{i=1}^{k}{\dfrac{k}{i}}$$
暴力的话要k^2，但是显然我们可以不用枚举那么多，只要枚举根号k次就好了。
我们发现求k/i时，会出现一段的连续答案，于是我们可以采用分块！

分块

先枚举i从1到根号k
假设当前做到的块开头是j，结尾时j’
那么我们可以在当前的块上统计答案，然后再跳下一段块
我们要使

$$\dfrac{k}{j}>=\dfrac{k}{j'}$$
移项可得 $j'>=\dfrac{k}{\dfrac{k}{j}}$
然后我们就可以愉快地分块计算了

时间复杂度可简化为O(根号k)

伪代码

#include<cstdio>

typedef long long LL;

const LL maxn=998244353;

LL calc(LL n)

{

    LL x=0,y,sum=0;

    while (x<=n)

    {

        y=n/(n/x);

        sum=(sum+(y-x+1)*(n/x)%modn)%modn;

        x=y+1;

    }

    return sum;

}

LL n;

int main()

{

    scanf("%lld\n",&n);

    printf("%lld\n",calc(n));

}