中国剩余定理和扩展中国剩余定理——杨子曰数学

中国剩余定理——杨子曰数学

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问：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

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换成人话（这才不是人话好吗）：

解方程：
$$\{\begin{array}{rl}x& \equiv a_1(mod{m}_1)\\ x& \equiv a_2(mod{m}_2)\\ x& \equiv a_3(mod{m}_3)\\ ⋮& \\ x& \equiv a_n(mod{m}_n)\end{array}$$$$(m_1,m_2,m_3\cdots \cdots m_n互质，I{t}^{\prime }veryimportant)$$

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中国剩余定理

我们先来讲肿么做，再来讲为啥可以这样做

How to do?

1. 求出$m_i$的lcm
   比如文章最上面的那道题，我们先求出$m=lcm(3,5,7)=105$
2. 让$M_i=\frac{m}{m_i}$
   于是，我们有了：$M_1=105/3=35，M_2=105/5=21,M_3=105/7=15$
3. 让M_i扩大一定的倍数s，使得$s\ast M_{i}mod{m}_i=a_i$
   在这个例子中：$M_{1}mod{m}_1=35mod3=2$
   欧，发现不用扩大就已经满足了$M_{1}mod{m}_1=a_1$
   继续，$M_{2}mod{m}_2=21mod5=1$
   余数需要变成3，那我们就把被除数变成原来的3倍
   也就是$63mod5=3$
   然后，$M_{3}mod{m}_3=15mod7=1$
   余数得是2，那我们就要把$M_3$变为2倍
   也就是：$30mod7=2$
4. 把扩大后的$m_i$全部加起来，我们就得到了答案：
   $ans=M_1+M_2+M_3=35+63+30=128$
5. 如果你喜欢的话把$ansmodm(它们的lcm)$，使答案落在0~m之间
   $ans=ansmodm=128mod105=23$
   OK，完事

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Why这样做我们可以找到答案？

其实$M_i$就是除了$m_i$以外的其他所有$m_i$的lcm（←别忘了它们是两两互质的）
也就是说M_i扩大了任意被模其他$m_i$都是不受影响的

那我们就可以随便扩大，让$M_{i}mod{m}_i=a_i$不就好了吗？
至于如何让$M_i$变成我们想要的值，其实我们先要算的是$M_i$在模$m_i$下的逆元（逆元，什么？戳），也就是我们想让$k\ast M_{i}mod{m}_i=1$，这是再把$k\ast M_i$扩大相应的倍数，就行了

OK，完事

int china()
{
    int ans=0,lcm=1,x,y;
    for(int i=1;i<=n;i++) lcm*=m[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int M=lcm/m[i];
        ex_gcd(M,m[i],x,y);
        x=(x%m[i]+m[i])%m[i];
        ans=(ans+M*x*a[i])%lcm;
    }
    return (ans+lcm)%lcm;
}

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扩展中国剩余定理

$$\{\begin{array}{rl}x& \equiv a_1(mod{m}_1)\\ x& \equiv a_2(mod{m}_2)\\ x& \equiv a_3(mod{m}_3)\\ ⋮& \\ x& \equiv a_n(mod{m}_n)\end{array}$$
一样的方程只不过这里的$m_i$不互质了

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它与中国剩余定理半毛钱关系也木有~~
我们先来看一看如果只有两个方程的情况：
$$\{\begin{array}{rl}x& \equiv a_1(mod{m}_1)\\ x& \equiv a_2(mod{m}_2)\end{array}$$
这个方程组其实可以转化成：
$$\{\begin{array}{r}x=a_1+k_1\ast m_1\\ x=a_2+k_2\ast m_2\end{array}$$
然后我们把两式相减，就得到了：
$$k_1\ast m_1-k_2\ast m_2=a_2-a_1$$
哦，有没有发现这是一个形如这个的方程：$a\ast x+b\ast y=c$

也就是说我们可以用扩展欧几里得解决（那是什么？戳）

于是，我们就得到了$k_1$和$-k_2$

然后$x_0=k_1\ast m_1+a_1$

我们也就知道了方程的通解是：$x=x_0+m\ast lcm(m_1,m_2)$（不停扩大或减小$lcm(m_1,m_2)$对它们的余数是没有影响的）

也就是说：$x\equiv x_0(modlcm(m_1,m_2))$

有没有发现我们把两个方程合并成了 一个！！

然后不停地合并下去，我们就得到了答案！

poj2891:

#include<iostream>
#include<cstdio> 
#define ll long long 
using namespace std;

int n;

ll gcd(ll a,ll b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b); 
}

void ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(!b) x=1,y=0;
    else ex_gcd(b,a%b,y,x),y-=(a/b)*x;
}

ll mul(ll a,ll b,ll p){
    ll ans=0;
    while(b){
        if (b%2) ans=(ans+a)%p;
        a=(a+a)%p;
        b/=2;
    }
    return ans;
}


int main(){
    ll m2,a2,m,ans;
    while(~scanf("%d",&n)){
        bool flag=0;
        scanf("%lld%lld",&m,&ans);
        for (int i=2;i<=n;i++){
            scanf("%lld%lld",&m2,&a2);
            a2=(a2-ans%m2+m2)%m2;//a2-a1 
            ll d=gcd(m2,m),x,y;
            if (a2%d) flag=1;//方程无解
            ex_gcd(m,m2,x,y);
            x=mul(x,a2/d,m2);//解k1*m1-k2*m2=a2-a1 (如果你想过掉【洛谷P4777】这里要加一个龟速乘)
            ans+=x*m;
            m*=m2/d;//m1=lcm(m1,m2) 
            ans=(ans%m+m)%m;
        } 
        if (flag) printf("-1\n");
        else printf("%lld\n",ans);  
    }
    return 0;
}

OK，完事

参考：
https://www.cnblogs.com/freinds/p/6388992.html
https://blog.youkuaiyun.com/niiick/article/details/80229217
https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/9254795.html
https://www.luogu.org/recordnew/show/19877167
https://www.luogu.org/recordnew/show/19921331

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