错位排列——杨子曰数学

错位排列——杨子曰数学

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首先，什么是错位排列？

就是你有1号物品，2号物品，3号物品……，它们都有自己对应的箱子：1号箱，2号箱，3号箱……

现在你把物品放到箱子里，结果一个物品也没有放对，全部都放错了，那么这个时候这些物品所构成的排列就被称为错位排列

接下来，我们来讨论错位排列怎么求，来简单推导一下错位排列总数的递推

我们用D[i]表示i个物品的错位排列总数

来看看D[n]怎么算，我们现在有n个物品，n个箱子：

我们来考虑第1个物品，它只要不放到第一个箱子就行，So，有(n-1)种选择

比方说我们把它放到2号箱子

现在我们来考虑2号物品怎么处理

我们要进行分类讨论了

1. 2号物品放到1号箱子
   一旦把2号物品放到1号箱子中以后，有没有发现剩下的3~n号物品就是一个新的错位排列了
   
   So，这种情况有D[n-2]种选法

2. 2号物品不放到1号箱子
   2号物品不能放到1号箱子，那么这时的1号箱子，就相当于问题最开始的2号箱子，都不能装2号物品
   于是你有没有发现，红框里又是一个新的错位排列问题了
   
   那么这种情况就有D[n-1]种选法了

然后1号物品除了放在2号箱子，还可以放在3号，4号……共(n-1)种选择

综上所述，$D[n]=(n-1)\ast (D[n-1]+D[n-2])$

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一个小小的递推公式无法满足我们的要求，接下来我们来推导它的通项公式

$$D[n]=(n-1)\ast (D[n-1]+D[n-2])$$
$$⟹\frac{D[n]}{(n-1)!}=\frac{D[n-1]}{(n-2)!}+\frac{D[n-2]}{(n-2)!}$$
$$令N[n]=\frac{D[n]}{n!}则n\ast N[n]=(n-1)\ast N[n-1]+N[n-2]$$
$$⟹N[n]=N[n-1]-\frac{N[n-1]}{n}+\frac{N[n-2]}{n}$$
$$⟹N[n]-N[n-1]=-\frac{1}{n}\ast (N[n-1]-N[n-2])$$
$$令H[n]=N[n+1]-N[n]则H[n-1]=-\frac{1}{n}\ast H[n-2]$$
$$又H[1]=N[2]-N[1]=\frac{D[2]}{2}-\frac{D[1]}{1}=\frac{1}{2}$$
$$⟹H[n]=(-1{)}^{n-1}\ast \frac{1}{(n+1)!}$$
$$⟹N[n]-N[n-1]=H[n-1]=(-1{)}^n\ast \frac{1}{n!}$$
$$又N[1]=\frac{D[1]}{1}=0$$
$$⟹N[n]=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots +(-1{)}^n\ast \frac{1}{n!}$$
$$⟹D[n]=n!\ast (\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots +(-1{)}^n\ast \frac{1}{n!})$$

OK，完事

参考：
https://bubbleioa.blog.luogu.org/solution-p4071

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