hdu 5411 CRB and Puzzle（矩阵快速幂）

最新推荐文章于 2018-05-05 15:15:45 发布

HelloWorld10086

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分类专栏：矩阵快速幂文章标签： hdu 5411

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂方法解决有向图中特定步数内的路径计数问题的算法。通过定义一个特殊矩阵并利用快速幂运算，可以在多项式时间内计算出从任意起点出发，经过指定步数所能达到的所有终点的路径总数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

给一个有向图，从任意点开始，最多走m步，求形成的图案总数。

思路：

令 $dp[i][j]$ 表示：走 $j$ 步最后到达i的方法数，
则 $dp[i][j]=\sum{dp[k][j-1]}$ ，其中k表示：走 $j$ 步可以直接到达 $i$ 的点。
$ans=\sum{dp[i][j]}$ 。
此题的关键在于，如何减少状态转移的时间，考虑用矩阵加速。

$D = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a [1] [1] a [2] [1] a [3] [1] . . . . . . a [1] [2] a [2] [2] . . . . . . . . . a [1] [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a [n] [n] 11111 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟$ $\begin{equation} %开始数学环境 D = \left( \begin{array}{ccc} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 a[1][1] & a[1][2] & a[1][3] & ... & 1\\ %第一行元素 a[2][1] & a[2][2] & ... & ... & 1\\ %第二行元素 a[3][1] & ... & ... & ... & 1\\ ... & ... & ... & ... & 1\\ ... & ... & ... & a[n][n] & 1\\ \end{array} \right) \end{equation}$
其中a[i][j]表示有向图，用于状态转移，右边的一列1用于累加答案。
$ans=∑∑D^{M-1}[i][j]$ $(1≤i≤n+1，1≤j≤n+1)$

$my$ $code$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef __int64 ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 2015;
const int SIZE = 105;
int size;
int n, m;

struct Matrix {
    ll v[SIZE][SIZE];
    Matrix() { memset(v, 0, sizeof(v)); }
};

Matrix operator * (Matrix a, Matrix b) {
    Matrix c;
    for(int i = 0; i < size; i++) {
        for(int j = 0; j < size; j++) {
            c.v[i][j] = 0;
            for(int k = 0; k < size; k++) {
                c.v[i][j] += (a.v[i][k] * b.v[k][j]) % MOD;
                c.v[i][j] %= MOD;
            }
        }
    }
    return c;
}

Matrix operator ^ (Matrix a, ll k) {
    Matrix c;
    for(int i = 0; i < size; i++) {
        c.v[i][i] = 1;
    }
    while(k) {
        if(k & 1) c = a * c;
        a = a * a;
        k >>= 1;
    }
    return c;
}

int main() {
    int k, x;
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        Matrix A;
        scanf("%d%d", &n, &m);

        size = n+1;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d", &k);
            for(int j = 0; j < k; j++) {
                scanf("%d", &x);
                A.v[i][x-1] = 1;
            }
        }
        for(int i = 0; i < size; i++)
            A.v[i][size-1] = 1;
        if(m == 0) {
            puts("1");
            continue;
        }
        Matrix ret = A^(m-1);
        ll ans = 0;
        for(int i = 0; i < size; i++) {
            for(int j = 0; j < size; j++) {
                ans = (ans + ret.v[i][j]) % MOD;
            }
        }
        printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}