复变函数中欧拉公式的证明

复变函数中欧拉公式的证明{e^(ix)=cos(x)+i*sin(x) }

e^(ix)=i+(i*i)/2!+(i*i*i)/3!+.......

 

cos(x)=(-sinx)+(-cosx)/2!+(sinx)/3!+(cosx)/4!+......

sin(x)=(cosx)+(-sinx)/2!+(-cosx)/3!+(sinx)/4!+......

上面cosx,和sinx的值的分析和符号分析分别如下：

cosx

- - + +

0 1 0 1

sinx

+ - - +

1 0 1 0

 

其中e^(ix)的系数分别是(i)+(-1)+(-i)+1,通过观察可以发现与cosx+i*sinx的值完全一样。