四元数、欧拉角和旋转矩阵

四元数、欧拉角和旋转矩阵

四元数、欧拉角和旋转矩阵都可以描述三维空间中的旋转，三者可以相互转化。这里四元数指的都是单位四元数，不改变向量的模，和旋转矩阵是正交的一个道理。欧拉角的转动顺序为$Z\to Y\to X$，转动的角度分别为$(\psi，\theta，\phi)$。

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欧拉角介绍

欧拉角包括偏航角(yaw)$\psi$，俯仰角(pitch)$\theta$，滚转角(roll)$\phi$，导航坐标系$S-Ox_gy_gz_g$经过三次旋转可以得到机体坐标系$B-x_by_bz_b$。需要注意的是，这里旋转的是坐标轴，不是向量。旋转过程遵循右手定则，过程如下：

• 以$z_g$正方向为轴，$S$系右旋$\psi$得到过渡坐标系$S'-Ox'y'z'$
• 以$y'$正方向为轴，$S'$系右旋$\theta$得到过渡坐标系$S''-Ox''y''z''$
• 以$x''$正方向为轴，$S''$系右旋$\phi$得到机体坐标系$B-Ox_by_bz_b$

每次旋转都用一个旋转矩阵表示如下：
第一次旋转：

$$\begin{equation} \left[ \begin{array}{ccc} x'\\y'\\z' \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{ccc} cos(\psi)&sin(\psi)&0\\ -sin(\psi)&cos(\psi)&0\\ 0&0&1\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_g\\y_g\\z_g \end{array} \right] \end{equation}$$
第二次旋转：
$$\begin{equation} \left[ \begin{array}{ccc} x''\\y''\\z'' \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{ccc} cos(\theta)&0&-sin(\theta)\\ 0&1&0\\ sin(\theta)&0&cos(\theta)\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x'\\y'\\z' \end{array} \right] \end{equation}$$
第三次旋转：

⎡⎣⎢xbybzb⎤⎦⎥=⎡⎣⎢