[CQOI2015]选数(容斥)-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Hardict/article/details/82933746

题意

在区间 [L,H] 中选个数,这个数 gcd==K 的种数

数据范围: $1\leq N,K \leq 10^9, 1\leq L \leq H \leq 10^9, H-L \leq 10^5$

题解

一看到求 gcd==K 的个数——莫比乌斯反演

再看看收据范围——emmm杜教筛

用杜教筛也是可行的,但注意到条件中有一个 $H-L\leq 10^5$ ,现在考虑如何使用这个条件

我们可以注意到需要杜教筛的情况是 gcd>10^7 左右

而这里有个结论,若 $x\neq y$ , $gcd(x,y)=gcd(x,\left | x-y \right |)\leq H-L$

利用这个我们就可以缩小数据范围了,我们先将区间变为 $[\lceil \frac{L}{K} \rceil,\lfloor \frac{H}{K} \rfloor]$ ,问题就变为求互素组的个数

设 f[d] 表示 $gcd(x_1,x_2,...,x_n)==d$ 且 x_i 不全相同的个数; $F[d]$ 表示 d | gcd(x_1,x_2,...,x_n) 且 x_i 不全相同的个数

那么利用容斥就求得了 f[1] ,最后特判全部相同的情况(能否全部为)即可

PS:这么设出来的 f[d],F[d] 也是可以反演分块求的(不用杜教筛)

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

using LL = long long;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int MAXN = 1e5 + 5;
LL N, K, L, H, ans;
LL f[MAXN], F[MAXN];
LL qpow(LL, LL);

int main(){
  cin >> N >> K >> L >> H;
  if(L % K == 0) L /= K; else L = L / K + 1;
  H /= K;
  LL i, j;
  for(i = 1; i <= MAXN - 5; i++){
    LL cnt = (H / i) - (L - 1) / i;
    F[i] = (qpow(cnt, N) - cnt + MOD) % MOD;
  }
  for(i = H - L; i >= 1; i--){
    f[i] = F[i];
    for(j = 2 * i; j <= H - L; j += i)
      f[i] = (f[i] - f[j] + MOD) % MOD;
  }
  ans = f[1];
  if(L == 1) ans++, ans %= MOD;
  cout << ans << endl;
  return 0;
}

LL qpow(LL x, LL n){
  LL res = 1;
  while(n){
    if(n & 1) res = res * x % MOD;
    x = x * x % MOD;
    n >>= 1;
  }
  return res;
}