最小生成树模板——kruskal算法

kruskal算法

kruskal算法主要解决稀疏图，代替堆优化的prim算法。

假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：

先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。
之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，
也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。kruskal算法限制每次选取的边不能使生成树构成环。
依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。

可以看出，kruskal算法和prim算法的不同之处，prim算法每次选取一个顶点，kruskal算法每次选取一条边。

依据kruskal算法的过程可知不需要像prim算法那样存储整个图的结构，只需要知道边的信息即可，

1. 由于每次选取的是权值最小的边，所以可以根据边的权值从小到大排序，然后再遍历。
2. 由于每次选取的边(a,b)的两个顶点要求不在一棵树上，因此需要并查集操作，判断a,b是否在一个集合。
   　　
   　
   　 如果点a b在一个集合，会出现以下三种情况：

1. a b是间接构成回路，有a->b的边时，如果插入就会构成回路；
2. 重边：已有a->b的直接边，再次插入就没有必要，因为前面已经插入的权值必定小于后面
3. 自环，肯定已经构成回路，必不可能插入。

因此每次需要判断两个点是否在一个连通图中

那么什么时候可以停止循环呢？

prim算法中循环N次可以停止，因为每次就会确定一个顶点；
但是kruskal算法不能够根据循环次数决定，因为不是每次循环的边都能加入集合，因此退出可以有两个条件：

1. 已经统计到了n-1条边，可以退出循环
2. 找到了边权为INF的边，此时说明存在不可达的点，是非连通图，不存在最小生成树，但是输入数据时并不会输入不存在的边，所以不存在会遍历到权值为INF的边，遍历的m条边都是可达的。

因此，循环提前退出时的条件只能是第1个，在遍历m条边之前就已经得到了最小生成树。
然后，当循环退出时，可能此时统计到了n-1条边；
也可能是非连通图，没有统计到n-1条边，如果没有统计到n-1条边，那就是不存在最小生成树。

最坏的情况下，全部遍历m条边才能停止。时间复杂度：O(mlogm)
因为遍历m条边过程中还涉及到并查集操作。

题目描述

给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

给定一张边带权的无向图G=(V, E)，其中V表示图中点的集合，E表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。
由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。

输入格式
第一行包含两个整数n和m。

接下来m行，每行包含三个整数u，v，w，表示点u和点v之间存在一条权值为w的边。

输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

数据范围
1≤n≤10⁵,
1≤m≤2∗10⁵,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过1000。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3