生成函数

1. 定义

实数序列$a_0,a_1,\dots ,a_k,\dots$的生成函数是无穷级数
$$G(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_k{x}^k+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k{x}^k$$

2. 定义：什么是递推关系

序列{an}\{a_n\}{an​}的递归关系是用序列的一个或多个前一项表示an的方程，即$a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}$，对于所有整数$n$，其中$n\ge n_0$，其中$n_0$是非负整数。

• 例子

  • 汉诺塔
    $h_n=2h_{n-1}+1,h_1=0$

  • 斐波那契序列
    $F_n=F_{n-1}+F_{n-2},F_1=F_2=1$

  • 卡特兰数
    例：用内对角线将一个凸n多边形划分成三角形的并，有多少个不同的划分方法？
    $C_{n+1}=C_2{C}_n+C_3{C}_{n-1}+C_4{C}_{n-2}+\cdots +C_{n2}{C}_4+C_{n-1}{C}_3+C_n{C}_2$
    $2(n-3)C_n=n\left(C_3{C}_{n-1}+C_4{C}_{n-2}+\cdots +C_{n-2}{C}_4+C_{n-1}{C}_3\right)$

  • 错排问题
    设$n$个数$1，2，\dots ，n$错排的数目为$D_n$，可得递推关系：
    $D_n=(n-1)\left(D_{n-1}+D_{n-2}\right),D_0=1,D_1=0,D_2=1$

3.定义：什么是递推关系的解

如果序列的项满足递归关系，则称为递归关系的解。

4. 用生成函数求解递推关系

4.1 汉诺塔问题

$h_n=2h_{n-1}+1,h_1=0$
$H(x)=h_{1}x+h_2{x}^2+\dots$
求$H(x):$
$$H(x)-2xH(x)=h_{1}x+\left[h_2-2h_1\right]x^2+\left[h_3-2h_2\right]x^3+\dots$$
$h_1=1,h_2-2h_1=1,h_3-2h_2=1,\dots ,$
$\therefore (1-2x)H(x)=x+x^2+x^3+\dots =x/(1-x)$
$$\begin{array}{r}H(x)=\frac{x}{(1-x)(1-2x)}H(x)=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1-2x}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}H(x)& =\frac{1}{1-2x}-\frac{1}{1-x}\\ & =\left(1+2x+2^2{x}^2+2^3{x}^3+\cdots \right)-\left(1+x+x^2+x^3+\cdots \right)\\ & =(1-1)+(2-1)x+\left(2^2-1\right)x^2+\left(2^3-1\right)x^3+\cdots \end{array}$$
$\therefore h_k=2^k-1$

4.2 指数型生成函数

4.2.1 定义

实数序列$a_0、a_1、\dots 、a_k、\dots$的指数生成函数是无穷级数
$$f_e(x)=a_0+a_1\frac{x^1}{1!}+a_2\frac{x^2}{2!}+\cdots +a_n\frac{x^n}{n!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n\frac{x^n}{n!}$$

4.2.2 错排问题

设$n$个数$1，2，\dots ，n$错排的数目为$D_n$，可得递推关系：
$D_n=(n-1)\left(D_{n-1}+D_{n-2}\right),D_0=1,D_1=0,D_2=1$
$$\begin{array}{rl}{D}_n& =(n-1)\left(D_{n-1}+D_{n-2}\right)\\ D_n-n{D}_{n-1}& =-\left[D_{n-1}-(n-1)D_{n-2}\right]\\ & =(-1{)}^2\left[D_{n-2}-(n-2)D_{n-3}\right]=\dots \\ & =(-1{)}^{n-1}\left(D_1-D_0\right)\end{array}$$
$\therefore D_n-n{D}_{n-1}=(-1{)}^n$
设$D_n$的指数型生成函数为：
$$G_e(x)=D_0+D_{1}x+\frac{D_2}{2!}{x}^2+\frac{D_3}{3!}{x}^3+\cdots$$
由于
$$\begin{array}{l}{G}_e(x)=D_0+D_{1}x+\frac{D_2}{2!}{x}^2+\frac{D_3}{3!}{x}^3+\cdots \\ x{G}_e(x)=D_{0}x+D_1{x}^2+\frac{D_2}{2!}{x}^3+\frac{D_3}{3!}{x}^4+\cdots \\ \frac{D_n}{n!}-\frac{D_{n-1}}{(n-1)!}=\left(\frac{D_n}{n}-D_{n-1}\right)\frac{1}{(n-1)!}=\frac{(-1{)}^n}{n!}\end{array}$$
得
$$G_e(x)-x{G}_e(x)=e^{-x}$$
因此
$$\begin{array}{l}{G}_e(x)=\frac{e^{-x}}{1-x}=\left(1-x+\frac{x^2}{2!}-\dots \pm \frac{x^n}{n!}\pm \cdots \right)/(1-x)\\ =\left(1-x+\frac{x^2}{2!}-\cdots \pm \frac{x^n}{n!}\mp \cdots \right)\left(1+x+x^2+\cdots \right)\end{array}$$
$\therefore D_n=\left(1-1+\frac{1}{2!}-\cdots \pm \frac{1}{n!}\right)n!$

4.3 整数拆分问题

4.31 定义

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和，相当于把$n$个无区别的球放到$n$个无标志的盒子，盒子允许空着，也允许放多于一个球。整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。

例子1

若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，问能称出那几种重量？有几种可能方案？
$$\begin{array}{l}(1+x)\left(1+x^2\right)\left(1+x^3\right)\left(1+x^4\right)\\ =\left(1+x+x^2+x^3\right)\left(1+x^3+x^4+x^7\right)\\ =1+x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9+x^{10}\end{array}$$
$0克:1,1克:1,2克:1,3克:2,4克:2,5克:2,6克:2,7克:2,8克:1,9克:1,10克:1$

例子2

若有1克、2克、3克的砝码各无数枚，问能称出那几种重量？有几种可能方案？
$$G(x)=\left(1+x+x^2+\dots \right)\left(1+x^2+x^4+\dots \right)\left(1+x^3+x^6+\dots \right)$$

例子3

整数$n$拆分成$1，2，3，\dots ，m$的和，并允许重复，有多少种拆分方法？
$$\begin{array}{l}{G}_1(x)\\ =\left(1+x+x^2+\cdots \right)\left(1+x^2+x^4+\cdots \right)\cdots \left(1+x^m+x^{2m}+\cdots \right)\\ =\frac{1}{1-x}\frac{1}{1-x^2}\cdots \frac{1}{1-x^m}\end{array}$$