B样条曲线——de Boor递推算法实现

最新推荐文章于 2024-05-13 21:35:52 发布

HachiLin

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分类专栏：计算机图形学文章标签： B样条曲线 de Boor递推算法计算机图形学

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Hachi_Lin/article/details/89812126

本文详细介绍了B样条曲线的定义、性质，包括局部性、连续性和凸包性，并对不同类型的B样条曲线进行了划分。重点讲解了de Boor算法，用于计算B样条曲线，最后给出了使用Python实现均匀B样条曲线的示例。

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B样条曲线——de Boor递推算法实现

1. 定义

为保留Bezier方法的优点，B样条曲线的方程定义为
$P(t)=\sum_{i=0}^n P_i N_{i,k}(t)$
其中， $Pi(i=0,1,…,n)P_i(i=0,1,\dots,n)$ 是控制多边形的顶点， $Ni,k(t)(i=0,1,…,n)N_{i,k}(t)(i=0,1,\dots,n)$ 称为 $k$ 阶( $k - 1$ 次)B样条基函数，其中每一个称为B样条，它是一个由称为节点矢量的费递增参数 $t$ 的序列 $T$ ： $t0≤t1≤⋯≤tn+kt_0 \le t_1 \le \dots \le t_{n+k}$ 所决定的 $k$ 阶分段多项式，即为 $k$ 阶( $k - 1$ 次)B多项式样条。
下面是基函数的递推公式，也称为de Boor-Cox公式：
$\begin{cases} N_{i,1}(t) = \begin{cases}&1 ,t_i \le t \le t_{i+1} \\ & 0, t < t_i \text{或者} t \ge t_{i+k} \end{cases} \\ N_{i,k}(t)=\frac{t-t_i}{t_{i+k-1}-t_i}N_{i,k-1}(t)+\frac{t_{i+k}-t}{t_{i+k}-t_{i+1}}N_{i+1,k-1}(t).\quad k \ge 2 \end{cases}$
并约定 $00=0\frac{0}{0}=0$ 。
递推公式表明：欲确定第 $i$ 个 $k$ 阶B样条 $N_{i,k}(t)$