简单迭代法、牛顿迭代法、Aitken加速迭代法 C++代码参考

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原创最新推荐文章于 2026-02-27 03:48:16 发布 5.5k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

Aitken加速法对收敛性的影响在前文——“不动点迭代法计算三元一次方程及不同迭代函数对收敛性的影响”中，对于函数f(x)=x^3-2*x-1，用不动点迭代法求根，当选取迭代函数x=(x^3-1)/2时，计算结果不收敛。下面用Aitken加速法尝试，看看会发生什么：题：用不动点迭代法求方程f(x)=x^3-2*x-1=0的根，用Aitken加速法按等价方程x=(x^3-1)/2实现。要求输出每次的迭代结果并统计所用的迭代次数,取精度c=0.5*10^(-5)，x0=2. 迭代公式如下(迭代公式参考 计算方法——江西高校出版社)：阅读详情

1、简单迭代法：

参考代码：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define x0 3//初值
#define MAXREPT 1000//迭代次数
#define EPS 0.5E-6//精度
#define G(x) pow(sin(x)+12*x-1,1.0/3)//你的迭代函数；将原方程化为x=G(x)。
int main()
{
	int i;
	double x_k=x0,x_k1=x0;
	printf("	k	xk\n");
	for(i=0;i<MAXREPT;i++)
	{
		printf("	%d	%g\n",i,x_k1);
		x_k1=G(x_k);
		if(fabs(x_k1-x_k)<EPS)
		{
			printf("The Root is x=%g,k=%d\n",x_k1,i);
			return 0;
		}
		x_k=x_k1;
	}
	printf("After %d repeate,no solved.\n",MAXREPT);
	return 0;
}

样例： $f(x)=x^3-sinx-12x+1$

样例结果：
简单迭代法结果
2、牛顿迭代法：

参考代码：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define G(x) x-(x*x*x-sin(x)-12*x+1)/(3*x*x-cos(x)-12) // 迭代函数，G(x)=x-f(x)/f'(x)
#define MAXREPT 1000// 迭代次数
#define EPS 0.5E-6// 精度
#define x0 3// 初值
int main()
{
	int i;
	double x_k=x0,x_k1=x0;
	printf("	k	xk\n");
	for(int i=0;i<MAXREPT;i++)
	{
		printf("	%d	%g\n",i,x_k1);
		x_k1=G(x_k);
		if(fabs(x_k1-x_k)<EPS)
		{
			printf("The Root is x=%g，k=%d\n",x_k1,i);
			double ans=f(x_k1);
			printf("%g\n",ans);
			return 0;
		}
		x_k=x_k1;
	}
	printf("After %d repeate,no solved.\n",MAXREPT);
	
	return 0;
}

样例： $f(x)=x^3-sinx-12x+1$

样例结果：
牛顿迭代法结果
3、Aitken加速迭代法

参考代码：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define x0 3// 初值
#define MAXREPT 1000// 迭代次数
#define EPS 0.5E-6// 精度
#define G(x) pow(sin(x)+12*x-1,1.0/3)// 迭代函数，将原方程化为x=G(x)
int main()
{
	int i;
	double x1=x0,x2=x0;
	double y,z;
	printf("	k	xk\n");
	for(i=0;i<MAXREPT;i++)
	{
		printf("	%d	%g\n",i,x2);
		y=G(x1);
		z=G(y);
		x2=z-((z-y)*(z-y))/(z-2*y+x1);
		if(fabs(x2-x1)<EPS)
		{
			printf("The Root is x=%g,k=%d\n",x2,i);
			return 0;
		}
		x1=x2;
	}
	printf("After %d repeate,no solved.\n",MAXREPT);
	return 0;
}