UVA 三道 GCD 题题解

最新推荐文章于 2021-05-20 17:29:41 发布

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暴力，枚举

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莫比乌斯反演

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本文探讨了求解∑i=1n∑j=i+1ngcd(i,j)的三种方法，分别适用于小规模、中等规模和大规模数据集。介绍了O(n^2)暴力解法、枚举GCD并利用欧拉函数优化至O(n)，以及针对更大数据集采用莫比乌斯反演和整除分块的高效算法。

问题都是求 $∑i=1n∑j=i+1ngcd⁡(i,j)\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=i+1}^n \gcd(i,j)$

总结一下套路

首先第一题直接 $O(n^2)$ 暴力就能解决

int n, ans ;

signed main(){
	while (scanf("%d", &n) != EOF && n) {
		ans = 0 ;
		rep(i, 1, n) rep(j, i + 1, n) ans += __gcd(i, j) ;
		printf("%d\n", ans) ;
	}
	return 0 ;
}

对于第二题， $n < = 200000$

我们枚举 $gcd⁡\gcd$ 为 $k$ ，现在的问题就是有多少对，我们记做 $f (k)$ ，那么答案就是 $∑i=1n(f(i)−1)∗i\sum\limits_{i=1}^n(f(i)-1)*i$ ，注意要 $- 1$ 因为不存在 $gcd⁡(i,i)=i\gcd(i,i)=i$ 的情况

$f (k)$ 怎么求?

若 a,b 互质，则 $gcd⁡(ak,bk)=k\gcd(ak,bk)=k$

枚举 $a, b$ 中较大的一个，记做 $i$ , 那么另一个数有 $φ(i)\varphi(i)$ 种可能，所以 $f(k)=∑i=1n/kφ(i)f(k)=\sum\limits_{i=1}^{n/k}\varphi(i)$ ，用前缀和处理

复杂度 $O (n)$

int n, cnt ;
ll phi[N], f[N], s[N], prime[N / 10] ;
ll ans ;

void sieve(int n) {
	phi[1] = 1 ;
	rep(i, 2, n) {
        if (!f[i]) {
        	prime[++cnt] = i ;
        	phi[i] = i - 1 ;
		}
		for (int j = 1; j <= cnt && prime[j] * i <= n; j++) {
			f[i * prime[j]] = 1 ;
			if (i % prime[j]) phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1) ;
			else {
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j] ;
				break ;
			}
		}
	}
}

void init(int n) {
	clr(f) ;
	rep(i, 1, n)
	for (int j = 2 * i; j <= n; j += i)
	f[j] += i * phi[j / i] ;
	rep(i, 1, n) s[i] = s[i - 1] + f[i] ;
}

signed main() {
	sieve(N - 10) ;
	init(N - 10) ;
	while (scanf("%d", &n) != EOF && n) printf("%lld\n", s[n]) ;
}