利用0-1背包问题谈动态规划

动态规划解释

维基百科的定义：
- 动态规划的本质，是对问题状态的定义和状态转移方程的定义。引自维基百科

dynamic programming is a method for solving a complex problem by    breaking it down into a collection of simpler subproblems.

动态规划是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。如何拆分问题，才是动态规划的核心。而拆分问题，靠的就是状态的定义和状态转移方程的定义。

什么样的问题适合使用动态规划 ？

(1) 满足动态规划的最优化原理：
作为整个过程的最优策略具有如下性质：无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的当前状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。 可以通俗地理解为子问题的局部最优将导致整个问题的全局最优，即问题具有最优子结构的性质，也就是说一个问题的最优解只取决于其子问题的最优解，非最优解对问题的求解没有影响。
(2)满足动态规划的无后效性原则：
所谓无后效性原则，指的是这样一种性质：某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各状态及决策的影响。也就是说，“未来与过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完整总结，此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演变。具体地说，如果一个问题被划分各个阶段之后，阶段 I 中的状态只能由阶段 I+1 中的状态通过状态转移方程得来，与其他状态没有关系，特别是与未发生的状态没有关系，这就是无后效性。

解题步骤是怎样？

1、状态的定义
2、状态转移方程的建立
状态即问题的子问题，之所以叫状态是为了防止混淆原问题，用计算机来表示就是用哪些变量存储哪些数据。状态转移方程，当状态定义好后，他们之间的转换关系就是状态转移方程，用计算机表示就是怎样根据一些变量计算出另一些变量。下面我将通过0-1背包问题来像大家解释以上概念，方便大家理解。

问题描述

现有n件物品和一个容量为c的背包。第i件物品的重量是重量为w[i]，价值是v[i]。已知对于一件物品必须选择取（用1表示）或者不取（用0表示），且每件物品只能被取一次（这就是“0-1”的含义）。求放置哪些物品进背包，可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

问题分析

这个问题特点是，每种物品只有一件，可以选择放或者不放， 假设我们从没见过这个题，所以我们要先分析下是不是适合使用动态规划，先从第一点来看是不是符合最优子结构。设背包最大容量C，如果某个状态的最优解包含了物品n，那么其余X1、X2、…Xn-1 一定构成了子问题1，2，…n-1在容量为C-cn适合的最优解，如果这个最优解不包含物品n，那么其他X1…Xn-1 一定构成了子问题 1、2…n-1在容量为C时候的最优解。我们可以用反证法来证明上述，如果在某个状态的最优解包含了物品n，如果在其余X1、X2、…Xn-1
没有构成子问题1，2，…n-1在容量为C-cn适合的最优解，那么必定存在一个其他组合方式能使该子问题达到最优解的，那么这就与题目1、2…n-1在容量为C时候的最优解冲突了。因为假设某个问题最优解包含了物品n的时候的价值是8，体积为8，如果去掉物品n后价值为5，体积为5，如果其他物品没有构成在体积为5下的最优解的话，那么就存在其他组合方式能让体积为5的时候价值大于5，那么再加上物品n的话总价值就会大于8，与假设不符，因为假设是8为最优。所以通过上述分析，该问题是具备最优子结构性质的。
那么再来看看是不是符合无后效性，当你知道物品总体积为C的时候你想加入一个cn，所以加入之前体积为C-cn，假设价值为x，加入后价值为y，你根本不用管这x怎么来的，到底是加入了哪些物品才得到了x，这些你都不用管，因为y的得到只需要x加上物品n的价值就行了，不关心你怎么来的，所以x为以前历史的一个总结。

解题

int c[N]; //存储物体体积
int v[N];//存储物体价值
int i,j; //物品序号、当前体积。

1、状态定义
我们可以先这样考虑，当背包容量为1时，如何放置物品才能使背包中价值最大；同样当背包容量为2时，如何放置能使背包中价值最大，以此类推，直到背包容量为10。此时我们需要维护一张二维表m[i][j]，其中横坐标i表示物品，纵坐标表示背包容量（1<=j<=10）。

0-1背包问题的递推二维表

可以将每个重量的时候看成是一个状态。
2、状态转移方程式建立
通过上表可以看到，当横坐标到了一定体积的时候，如果当前c[i]小于j，那么就可以选择加入 或者不加入，如果加入后总价值比原来的大，那么肯定加进去，如果没有原来大则不加。当前价值为m[i-1][j]，加入前价值为m[i-1][j-c[i]],加入后价值为加入前加上物品重价值，即m[i-1][j-c[i]+v[i]，通过上述便可建立状态转移方程式了。
（1）i=0 当j＜c[0]时，m[0][j]=0；当j>=c[0]时，m[0][j]=v[0]。
（2）i>0 当j＜c[i]，m[i][j]=m[i-1][j]；当j>=c[i]，m[i][j]=max{m[i-1][j-c[i]]+v[i]，m[i-1][j]}。

编码

这儿我只列出核心算法代码

for(int i=1;i<N;i++){
for(int j=1;j<=C;j++){
   if(c[i]<j){ //可以加入
    m[i][j]= max(m[i-1][j],m[i-1][j-c[i]]+v[i]);
     }else{ //加不进
          m[i][j]=m[i-1][j];
           }
}
}

总结

至此利用0-1背包问题谈动态规划已经结束了。总结一下，其实动态规划是用来解决一类问题的，其核心应该是状态定义，而不是状态转移方程式的建立。一个问题状态的定义有很多种，状态转移方程式也有很多种，甚至存在一个有后效性的定义，但是并不代表不能用动态规划，只是不适合罢了。动态规划是寻找一种对问题的观察角度，让问题能够以地推或者分治的方式去解决。所以寻找看问题的角度，才是动态规划中最耀眼的宝石。

感谢

动态规划理解 徐凯强
0-1背包详解